Движение. Теплота

Опыт покажет, что они ошиблись, – тележки приобретут одинаковую скорость. Пока тело движется по наклонной плоскости, оно находится под действием постоянной силы, а именно (рис. 33) под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль движения. Скорость v, которую приобретает тело, движущееся с ускорением a на пути S, равна, как мы знаем, v = sqrt(2aS).

Откуда же видно, что эта величина не зависит от угла наклона плоскости? На рис. 33 мы видим два треугольника. Один из них изображает наклонную плоскость. Малый катет этого треугольника, обозначенный буквой h, – высота, с которой начинается движение; гипотенуза S есть путь, проходимый телом в ускоренном движении. Маленький треугольник сил с катетом ma и гипотенузой mg подобен большому, так как они прямоугольные и углы их равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, отношение катетов должно равняться отношению гипотенуз, т.е.

Мы доказали, что произведение aS, а значит, и конечная скорость тела, скатившегося с наклонной плоскости, не зависит от угла наклона, а зависит лишь от высоты, с которой началось движение вниз. Скорость v = sqrt(2gh) для всех наклонных плоскостей при единственном условии, что движение началось с одной и той же высоты h. Эта скорость оказалась равной скорости свободного падения с высоты h.

Измерим скорость тела в двух местах наклонной плоскости – на высотах h₁ и h₂. Скорость тела в момент прохождения через первую точку обозначим v₁, а скорость в момент прохождения через вторую точку – v₂.

Если начальная высота, с которой началось движение, есть h, то квадрат скорости тела в первой точке будет v₁² = 2g (h – h₁), а во второй точке v₂² = 2g (h − h₂). Вычитая первое из второго, мы найдем, как связаны скорости тела в начале и в конце какого угодно кусочка наклонной плоскости с высотами этих точек:

v₂² − v₁² = 2g (h₁ − h₂).

Разность квадратов скоростей зависит лишь от разности высот. Заметим, что полученное уравнение одинаково пригодно для движений вверх и для движений вниз. Если первая высота меньше второй (подъем), то вторая скорость меньше первой.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

Мы хотим подчеркнуть такой записью, что сумма половины квадрата скорости и высоты, умноженной на g, одинакова для любой точки наклонной плоскости. Можно сказать, что величина v²/2 + gh сохраняется во время движения.

Самое замечательное в найденном нами законе то, что он справедлив для движения без трения по любой горке и вообще по любому пути, состоящему из чередующихся подъемов и спусков различной крутизны. Это следует из того, что любой путь можно разбить на прямолинейные участки. Чем меньше брать отрезки, тем ближе будет приближаться ломаная линия к кривой. Каждый прямой отрезок, на которые разбит криволинейный путь, можно считать частью наклонной плоскости и применить к нему найденное правило.

Значит, в любой точке траектории сумма v²/2 + gh одинакова. Поэтому изменение квадрата скорости не зависит от формы и длины пути, по которому двигалось тело, а определяется лишь разностью высот точек начала и конца движения.

Читателю может показаться, что наше заключение не совпадает с повседневным опытом: на длинном отлогом пути тело вовсе не набирает скорость и в конце концов остановится. Так оно и есть, но ведь мы в наших рассуждениях не учитывали силу трения. Написанная выше формула верна для движения в поле тяжести Земли под действием одной лишь силы тяжести. Если силы трения малы, то выведенный закон будет выполняться совсем неплохо. На гладких ледяных горах санки с металлическими полозьями скользят с очень небольшим трением. Можно устроить длинные ледяные дорожки, начинающиеся с крутого спуска, на котором набирается большая скорость, а затем причудливо извивающиеся вверх и вниз. Конец путешествия по таким горкам (когда санки остановятся сами собой) при полном отсутствии трения произошел бы на высоте, равной начальной. А так как трения избежать нельзя, то точка, с которой началось движение санок, будет выше того места, где они остановятся.

Закон, по которому конечная скорость не зависит от формы пути при движении под действием силы тяжести, может быть применен для решения различных интересных задач.