До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Число е родом из области логарифмов, как подчеркивал Эйлер. Эта связь, которую мы подробнее рассмотрим в приложении 1, ускользала от математиков на протяжении века. В защиту современников Эйлера можно сказать, что постоянная е с течением времени зарекомендовала себя как особенно неуловимая.

Одним из первых к ней приблизился Грегуар де Сен- Венсан (1584-1667), который в 1647 году обнаружил равностороннюю гиперболу, соответствующую уравнению у - 1/x, ее график в декартовой системе координат изображен на этой странице. Сен-Венсан вычислил площадь между 1 и любой другой точкой t на горизонтальной оси говоря современным языком, это площадь криволинейной трапеции между 1 и t.

Таким образом, получается, что

∫₁^t(1/x)dx = lnt,

и при t = е мы имеем Int - Ine = 1. Следовательно, e равно значению на горизонтальной оси X, для которого площадь, указанная на графике, равна 1. Это определение впоследствии дал ей сам Эйлер, Сен-Венсан же так и не пришел к нему.

Христиан Гюйгенс (1629-1695) тоже не обратил на число е большого внимания, хотя в одном из рассуждений ему пришлось вычислить 17 знаков его десятичного логарифма. Но поскольку он был сконцентрирован на другом вопросе, то также проигнорировал число е.

Не прошел мимо него Якоб Бернулли, хотя он приблизился к е не через логарифмы, а следуя другому, более "земному" пути. В 1683 году Бернулли начал изучать сложные проценты по вкладу капитала. Мы можем проследить за его шагами, используя современную терминологию. Если мы делаем вклад, равный С, под годовой процент i, то в конце года сумма будет равна

C+Ci-C(1 + i).

Если бы проценты подсчитывались два раза в год, а не один, то надо было бы разделить их на 2 и начислять деньги дважды. За один год сумма капитала и процентов стала бы равна

C + Ci/2 + (C + Ci/2)i/2 = C(C + i/2) + C(1 + i/2)i/2 =

= C(1 + i/2)(1 + i/2) = C(1 + i/2)²

Если повторить эту операцию n раз, то, следуя этой модели, капитал будет равен

C(1 + i/n)ⁿ.

При бесконечном повторении этой операции проценты будут начисляться каждое мгновение, и, используя современное понятие предела (независимо от величины i она не имеет значения в данной задаче), мы пришли бы к пределу

lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ.

При проверке предела необходимо установить, что он существует и что к его значению можно приблизиться при помощи простого вычисления.

n

(1 + 1/n)

ⁿ

1

2

2

2,25

3

2,37037

4

2,44141

5

2,48832

10

2,59374

100

2,70481

1000

2,71692

10000

2,71815

100000

2,71827

1000000

2,71828

Якоб Бернулли без помощи современных вычислительных инструментов дошел до первых строк этой таблицы. Это поразительный результат для математики той эпохи. По его подсчетам, предел был бы между 2 и 3. Сегодня мы знаем, что

lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ = e.

Так Якоб Бернулли одновременно нашел е — хотя и не он дал постоянной это имя — и впервые в истории сделал открытие, применив неизвестное до того времени понятие предела. К сожалению, и в этот раз постоянная е осталась без надлежащего признания, поскольку Якоб не связал ее с логарифмами. Число е обрело свое первое имя в 1690 году, когда Лейбниц обозначил его буквой b в письме Гюйгенсу. С этого момента переменная начала существовать. Ей наконец дали имя, хотя и не окончательное. Открытие связи постоянной с логарифмами было вопросом времени, и этот медленный процесс завершился, как мы уже сказали, в 1731 году, в письме Эйлера Гольдбаху.

ЧИСЛО И ШЛЯПЫ

Якоб Бернулли занялся константой е не только с целью решить задачу о процентных ставках. На ее изучение ученого подвиг ребус, а точнее задача о теории вероятностей и шляпах. Пьер Ремон де Монмор (1678-1719) и Якоб Бернулли столкнулись со следующей загадкой: на бал съехалось N гостей. Они сдали свои шляпы лакею. Для них были приготовлены специальные коробки с этикетками, чтобы не перепугать владельцев. Но в последний момент лакей, назначенный ответственным за шляпы, заболел, и его заменили другим, который, не зная приглашенных, положил шляпы в коробки как придется. Проблема возникает, когда гости разъезжаются и лакей отдает им шляпы. Некоторые получат свои, другие — нет. Какова вероятность того, что произойдет полная катастрофа и ни одна шляпа не будет возвращена своему законному владельцу? Ответ таков: