До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Не существовало ни малейшей догадки по этому вопросу. Если попробовать сложить тысячи чисел из этого ряда, будет ясно: сумма приближается к определенному числу, но в то же время настолько медленно, что практически невозможно не округлить его до сотых. Считается, что впервые о Базельской задаче упомянул итальянский священник и математик Пьетро Менголи (1626-1686), а Эйлеру о ней рассказал Иоганн Бернулли. Уже в 1729 году ученый говорил о задаче в письме Гольдбаху. В 1730 году эта задача занимала мысли всех математиков и привлекала их так же, как впоследствии — Великая теорема Ферма. Эйлер приступил к ней с таким энтузиазмом, что нашел несколько вариантов решения. Все они необыкновенно изобретательны, а некоторые являются идеалом для специалистов по анализу, особенно решение, опубликованное в 1741 году, в котором используется техника интегрального исчисления. Классическое же решение эксперты называют "третьим": оно наиболее изящное с точки зрения неподготовленного читателя. Мы немного поговорим о нем в приложении 2.

Недавно я нашел, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, зависящего от квадратуры круга... А именно, шестикратную сумму этого ряда равной квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Эйлер

Решение Базельской задачи стало неожиданностью для научного сообщества, и новость об этом разлетелась по свету. Мир в то время был довольно небольшим, мир образованных людей — еще меньше, а способы сообщения, кроме почты, труднодоступны.

Эйлер подготовил почву для решения, проведя предварительные вычисления и прочие операции. Например, сначала он использовал промежуточные суммы, как в методе Эйлера — Маклорена, чтобы получить более точное число, чем 1,64. Благодаря своему уму Эйлер нашел шесть точных цифр, и его отправной точкой стало число:

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = 1,644934.

С другой стороны, от Эйлера, для которого возводить в различные степени число л было обычным делом и обладавшего необыкновенной памятью, не могло ускользнуть, что 1,644934 очень похоже на ²/6. Следовательно, мы можем предположить, что, вступая на этот тернистый путь, Эйлер уже знал, к чему он придет. Ни один его современник не обладал таким преимуществом. Гениальность Эйлера позволила ему обойтись без сложения около 3000 членов исходного ряда.

БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА: КОНЕЦ

Решив Базельскую задачу, Эйлер не остановился на достигнутом. Вернемся к дзета-функции из предыдущей главы:

(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + ... + 1/n^x + ...

При х - 1 мы получаем гармонический ряд, а при х - 2 — ряд из Базельской задачи. Эйлер углубил этот вопрос и на основе своих размышлений над Базельской задачей получил следующие выражения для ряда степеней:

(4) = 1 + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + ... + 1/n⁴ + ... = ⁴/90

(6) = 1 + 1/2⁶ + 1/3⁶ + 1/4⁶ + ... + 1/n⁶ + ... = ⁶/945

(8) = 1 + 1/2⁸ + 1/3⁸ + 1/4⁸ + ... + 1/n⁸ + ... = ⁸/9450

(10) = 1 + 1/2¹⁰ + 1/3¹⁰ + 1/4¹⁰ + ... + 1/n¹⁰ + ... = ¹⁰/93555

до (26) со все более сложными формулами, где n всегда стояло в степени л, соответствующей (n). В 1739 году Эйлер пришел к общему выражению:

(2n) = (-1)ⁿ⁺¹ (2)²ⁿB_2n/2·(2n)!,

в котором содержались числа В_к, числа Бернулли (о них мы поговорим в главе 4). Постепенно они становятся все больше и ими все труднее оперировать; для примера достаточно записать пятидесятый член:

(50) = 39 604 576 419 286 371866 998 202⁶⁰/285 258 771457 546 764 463 363 635 252 374 414183 254 363 234 375

ПЕРВАЯ КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА В ИСТОРИИ