Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы

Вышеприведенные примеры – алгоритмы из программирования, однако другие математические утверждения-теоремы из геометрии, анализа и алгебры также универсальные истины. В главе 5 мы видели пример парадокса дружбы. Сначала кажется невероятным, что наши друзья в среднем популярнее нас, но с помощью логических рассуждений мы показали, что это верно и иначе быть не может.

Математика полна удивительных результатов, которые сначала могут противоречить интуиции. Например, тождество Эйлера (названное в честь великого математика Леонарда Эйлера[192]) e^πi + 1 = 0 говорит нам о связи между тремя хорошо известными величинами, основанием натуральных логарифмов e = 2,71828…, π = 3,14159… и i = √–1. Этот факт так изящно сочетает фундаментальные константы, что его называют самой красивой формулой в математике[193].

Еще один пример – золотое сечение:

φ = (1 + √5) / 2 = 1,618…

Это число появляется, когда мы рисуем прямоугольник, который можно разрезать на квадрат и новый прямоугольник, подобный исходному. Иными словами, если сторона этого квадрата равна a, а стороны прямоугольника – a и b, то прямоугольник называется золотым, когда

Интересно, что число φ (фи) также появляется в связи с последовательностью чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…, которая получается, когда мы складываем два предыдущих числа для получения следующего (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3 и т. д.). Если мы рассмотрим отношение двух последовательных чисел Фибоначчи, то оно будет все сильнее приближаться к числу φ (например, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615…, 34/21 = 1,619… и т. д.). Эти два примера – всего лишь начальная точка для путешествия в чистую математику, где повседневная интуиция начинает подводить и только строгие логические рассуждения могут вести вперед.

Огромное количество математических теорем, оказавшихся истинными, побудило французского математика Анри Пуанкаре написать в своей книге 1902 года «Наука и гипотеза»: «Если все предложения, которые математика выдвигает, можно вывести друг из друга по правилам формальной логики, то каким образом математика не сводится к бесконечной тавтологии? Логический вывод не может нас научить ничему существенно новому… Неужели мы можем допустить, что все эти теоремы, которые заполняют столько томов, нужны только для того, чтобы окольным способом сказать, что А есть А?» Вопрос Пуанкаре был риторическим, поскольку он считал, что проблемы, с которыми он и другие люди сталкиваются при разгадывании математических истин, должны содержать нечто более глубокое, нежели просто логические утверждения.

Аналогичная точка зрения в книге Дэна Брауна «Код да Винчи» – оригинальной, хотя и вымышленной теории математического заговора. В книге профессор Лэнгдон говорит: «Когда древние открыли число фи [φ], они были уверены, что наткнулись на строительный блок, который Бог использовал при создании мира… Загадочное волшебство, присущее божественной пропорции, было написано в начале времен». Лэнгдон переходит к примерам (некоторые верны, некоторые нет), как золотое сечение, которое он называет божественной пропорцией, можно увидеть в биологии, искусстве и культуре. На протяжении всей истории участники «Десятки» использовали φ в качестве кода, причем имя одного из главных персонажей романа – СоФИ Невё – содержало ключ.

Должен признать, что этот аспект математики меня очень привлекает. Я наслаждался «Кодом да Винчи». Есть что-то невероятное в обнаруживаемых нами неожиданных связях – не только в числах вроде фи, но и в алгоритме Дейкстры для кратчайшего пути, и в сортировке слиянием фон Неймана. Такая простая элегантность кажется выходящей за рамки обыденной реальности. Может, за всеми этими уравнениями скрыт какой-то глубокий код?

Правильный ответ на вопрос Пуанкаре гораздо более незатейлив и прямолинеен, чем он ожидал: «да». Все великие теоремы математики, как и все алгоритмы сортировки и организации из информатики, говорят всего лишь, что А равно А. Все они представляют собой одну колоссальную тавтологию; это очень полезные и неожиданные тавтологии, но тем не менее тавтологии. Пуанкаре был прав буквально и неправ риторически.

Рассуждение, которое утверждает, что Пуанкаре был прав, можно найти в книге «Язык, истина и логика». В ней Айер использовал пример с треугольником. Представьте, что друг рассказывает вам о треугольнике, у которого сумма углов меньше 180 градусов[194]. У вас есть два способа отреагировать: либо сказать ему, что он измерил неправильно, либо сообщить, что объект, который он имеет в виду, не треугольник. Ни при каких обстоятельствах вы не измените своего мнения о математических свойствах треугольника на основании данных вашего друга. Он не найдет в реальном мире треугольника, подрывающего устои геометрии.