Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы

Каждое число в матрице показывает, сколько раз подросток кликнул по конкретному типу постов. Например, Мэдисон посмотрела 8 постов о еде, по 6 о косметике и Кайли Дженнер, ни одного о ютьюбере Пьюдипае и видеоигре Fortnite и 2 публикации о рэпере Дрейке.

Просто глядя на эту матрицу, мы можем получить хорошее представление о том, что за человек Мэдисон. Попробуйте представить ее себе, а потом потратьте несколько секунд, чтобы вообразить некоторых других персонажей, которых я ввел здесь, используя в качестве ориентиров просмотренные ими снимки. Не беспокойтесь. Это не настоящие люди. Вы можете быть сколь угодно категоричными.

В матрице есть еще несколько человек, похожих на Мэдисон. Например, Сэм любит косметику, Кайли Дженнер и еду, но проявляет незначительный интерес к другим категориям. Есть и люди, которые резко отличаются от Мэдисон. Джейкоб, как и Лорен, предпочитает Пьюдипая и Fortnite. Некоторые не совсем вписываются в два этих типа. Скажем, Тайлер любит Дрейка и косметику, но интересуется Пьюдипаем.

Уравнение рекламы – математический способ автоматически определять тип людей. Оно имеет следующую форму:

Оно измеряет корреляцию между различными категориями снимков. Например, если люди, которые обычно ставят лайк Кайли Дженнер, также ставят лайк и косметике, то r_{косметика, Кайли} будет положительным числом. В этом случае мы говорим, что существует положительная корреляция между Кайли и косметикой. Но если люди, которые ставят лайки Кайли, обычно не ставят их Пьюдипаю, r_{Пьюдипай, Кайли} будет отрицательным числом, и мы назовем это отрицательной корреляцией.

Чтобы понять, как работает уравнение 7, разберем его шаг за шагом начиная с M_i,x. Это число в строке i и столбце x нашей матрицы M. Мэдисон 6 раз просматривала посты о косметике, поэтому M_{Мэдисон, косметика} = 6: у нас строка i = Мэдисон, а столбец x = косметика. В общем случае каждый раз, когда мы смотрим на число в строке i и столбце x матрицы, то видим M_i,x. Взглянем на Эта величина – среднее число постов в категории x, приходящееся на одного пользователя. Например, среднее число просмотренных публикаций о косметике для наших подростков таково:  = (6 + 6 + 0 + 0 + 9 + 6 + 7 + 3 + 0 + 4 + 7 + 0)/12 = 4.

Если мы вычтем среднюю заинтересованность в косметике из общего числа публикаций, просмотренных Мэдисон, то получим M_i,x –  = 6–4 = 2. Это говорит нам, что Мэдисон интересуется косметикой выше среднего. Аналогично, вычислив  = 5, мы видим, что она также (слегка) выше среднего интересуется Кайли Дженнер, поскольку M_i,y –  = 6–5 = 1, если i = Мэдисон, а y = Кайли.

А теперь переходим к мощной интересной идее, лежащей в основе уравнения 7: если мы перемножим (M_i,x – ) ∙ (M_i,y – ), то определим те интересы, которые, как правило, у людей общие. Для Мэдисон мы получаем:

 = (6–4) ∙ (6–5) = 2 ∙ 1 = 2.

Это говорит нам о том, что между ее интересом к Кайли и косметике существует положительная корреляция.

Для Тайлера взаимоотношения между косметикой и Кайли отрицательные – (6–4) ∙ (1–5) = 2 ∙ (–4) = –8, – поскольку он проявляет интерес только к первой. Для Джейкоба величина снова положительна: (0–4) ∙ (0–5) = (–4) ∙ (–5) = 20, так как ему не нравятся ни первая, ни вторая (см. рис. 7). Обратите внимание на один нюанс. И у Джейкоба, и у Мэдисон положительное значение, хотя у них противоположные взгляды на Кайли и косметику. Однако их взгляды предполагают, что Кайли и косметика коррелируют между собой, хотя Джейкоб вообще никогда не смотрел ни на ту ни на другую. Поведение Тайлера в социальной сети не соответствует такой закономерности.

Рис. 7. Иллюстрация к вычислению корреляции между Кайли и косметикой

Мы можем произвести расчеты для каждого из подростков и сложить все такие величины. Получится сумма

Знак Σ_i указывает, что мы берем сумму по всем двенадцати тинейджерам. Сложив все произведения, где перемножены отношения подростков к косметике и к Кайли, получим:

2 – 8 + 20–16 + 10 + 8 + 6 + 2 + 20 + 0 + 9 + 16 = 69.

Большая часть слагаемых положительна: это показывает, что дети имеют схожее отношение к Кайли и косметике. Среди тех, кто вносит свой положительный вклад в сумму, – Мэдисон и Джейкоб: 2 и 20 соответственно. Исключения – Тайлер, которому не нравится Кайли, и Райан, которому не нравится косметика; зато Кайли Дженнер по душе. Именно эта пара дала слагаемые –8 и – 16.

Математики не любят больших чисел вроде 69. Мы предпочитаем, чтобы они были меньше, лучше между 0 и 1, так их удобно сравнивать. Для этого мы добавим в уравнение 7 знаменатель (нижнюю часть дроби)[135]. Я не стану подробно разбирать это вычисление, но если мы подставим все наши числа, то получим