Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы

Но почему? Потому что мы хорошие? Потому что всегда позволяем наступать на себя? Потому что слабы и не можем за себя постоять?

Нет. Нет. Нет. Вовсе не поэтому. Нам нужно прощать их, потому что мы рациональны и верим в логику и разум. Мы хотим быть справедливыми. Мы знаем теорему преподобного Байеса. А второе уравнение говорит нам, что это – единственно верное действие.

И вот почему. Теорема Байеса – связь, которую нам нужно установить между моделью и данными. Она позволяет нам проверить, насколько хорошо наши картинки соотносятся с реальностью. В примере, который мы разбирали в начале главы, мы рассматривали вероятность P{катастрофа|тряска} того, что самолет разобьется, при условии, что он попал в болтанку. Эми желает знать P{стерва|грубость}, и логика здесь та же.

Катастрофа и стерва – модели в наших головах. Это наши представления о мире, которые принимают форму мыслей или (в моем случае) фильмов. Тряска и грубость – данные, которые есть в нашем распоряжении. Это нечто осязаемое, то, что происходит, что мы можем ощущать. Значительная часть прикладной математики включает сопоставление моделей с данными, столкновение наших мечтаний с суровой реальностью.

Будем использовать букву M для модели и Д для данных. Мы хотим знать сейчас вероятность того, что модель верна (Рэйчел – стерва), при условии истинности данных (грубый комментарий в туалете). Имеем:

Чтобы понять уравнение (формулу Байеса), лучше всего рассмотреть по отдельности компоненты правой части.

Числитель (часть над дробной чертой) – произведение двух вероятностей, P{М} и P{Д|М}. Множитель P{М} – вероятность того, что модель истинна, до того, как произошло некое событие (статистическая вероятность крушения самолета или оценка Эми, что встреченный ею человек стервозен; в последнем случае – 1/20). Эту величину Эми знала прежде, чем отправилась в туалет. Второй множитель, P{Д|М}, касается того, что произошло в санузле. Это вероятность, что Рэйчел оскорбит Эми, если она в самом деле стерва, или – в общем случае – того, что мы наблюдаем некоторые конкретные данные, если наша модель верна. Трудно оценить это число количественно, поэтому будем считать его эквивалентом броска монетки: P{Д|М} = 0,5. Рэйчел не каждый раз при посещении туалета злословит о сокурсницах. Минимум 50 % времени стервы тратят на разговоры о чем-то еще.

Мы перемножаем вероятности, чтобы найти вероятность того, что произошли одновременно оба события. Например, если я бросаю две игральные кости и хочу найти вероятность выпадения двух шестерок, то я определяю вероятность 1/6 для выпадения шестерки на первой кости, вероятность 1/6 для шестерки на второй, а затем перемножаю их и получаю вероятность выпадения шестерок на обеих костях: 1/6 ∙ 1/6 = 1/36. Тот же принцип применяется и здесь: числитель – вероятность того, что Рэйчел стерва и она отпустила стервозный комментарий при посещении туалета.

Итак, числитель описывает Рэйчел как стерву, но мы должны также рассмотреть альтернативную модель, в которой она хороший человек. Это делается в знаменателе дроби справа. Рэйчел может быть стервой, сделавшей стервозный комментарий (M), или хорошим человеком, допустившим ошибку (M–). Черта над буквой означает противоположность или дополнение. В нашем случае дополнение к «быть стервой» – «быть не стервой», «быть хорошим человеком». Обратите внимание, что первое слагаемое в знаменателе совпадает с числителем, P{Д|М} ∙ P{M}. Второе, P{Д|M–} ∙ P{M–}, – вероятность того, что Рэйчел сделала свое грязное замечание при условии, что она не стерва, умноженная на вероятность того, что она хороший человек. Мы охватили все возможные объяснения тех данных, что получила Эми, сидя в кабинке туалета. Теперь можно найти P{M|Д} – вероятность модели при условии этих данных.

Если Рэйчел не стерва, то она хороший человек, поэтому P{M–}=1–P{M}=0,95. Теперь нужно определить вероятность, что хороший человек совершает ошибку и говорит гадость. Возможно, у милой Рэйчел был неудачный день – у всех такое случается. Предположим, что один раз из десяти у хороших людей бывает плохой день и они говорят то, о чем потом жалеют. Иными словами, пусть P{Д|M–}=0,1 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация теоремы Байеса

Осталось только произвести подсчет – точно так же, как с крушением самолета, но с другими числами:

Вероятность того, что Рэйчел – стерва, примерно 1/5. Именно поэтому Эми стоит простить ее. С вероятностью 4/5 она хороший человек. Было бы нечестно судить девушку только по одному действию. Эми не следует упоминать, что она слышала Рэйчел, или допустить, чтобы эти слова влияли на их общение. Лучше ждать и смотреть, что произойдет завтра. С вероятностью 80 % к концу года они будут вместе смеяться над этим случаем в туалете.