Числа против лжи

При конкретных вычислениях удобно пользоваться приближенным способом вычисления коэффициента p(X, Y). Дело в том, что подсчет числа целых точек в множестве K довольно затруднителен. Но, оказывается, эту трудность можно обойти, перейдя от дискретной модели к непрерывной. Хорошо известно, что если (n-1)-мерное множество K в (n-1)-мерном симплексе L достаточно велико, то число целых точек в K примерно равно (n-1)-мерному объему множества K. Поэтому с самого начала в качестве предварительного коэффициента p'(X, Y) можно брать просто отношение (n-1)-мерного объема K к (n-1)-мерному объему L, то есть

Например, в случае двух локальных максимумов в качестве коэффициента p'(X, Y) следует взять отношение:

Конечно, при малых значениях В-А, «дискретный коэффициент» и «непрерывный коэффициент» различны. Но в наших исследованиях мы будем иметь дело с временными интервалами В-А в несколько десятков и даже сотен лет, так что для интересующих нас целей можно, не делая большой ошибки, уверенно пользоваться непрерывной моделью р'(X, Y). Точные математические формулы для подсчета «непрерывного коэффициента» p'(X, Y), для его оценки сверху и снизу, приведены в работе [884], с. 107.

Укажем еще одно уточнение описанной статистической модели. При работе с конкретными графиками объема исторических текстов следует сглаживать графики, чтобы устранить мелкие случайные всплески. Мы проводили такое сглаживание, «усредняя по соседям», то есть, заменяя значение функции объема в каждой точке t на среднее арифметическое трех значений функции, а именно, в точках t-1, t, t+1. В качестве «окончательного коэффициента» p(X, Y) следует взять его значение, подсчитанное для таких сглаженных графиков.

Сформулированный выше принцип корреляции максимумов подтвердится, если для большинства пар заведомо зависимых текстов X и Y коэффициент p(X, Y) окажется «малым», а для большинства пар заведомо независимых текстов, напротив, — «большим».

1.4. Экспериментальная проверка принципа корреляции максимумов Примеры зависимых и независимых исторических текстов

В 1978–1985 годах автором был проведен первый обширный вычислительный эксперимент по подсчету чисел p(X, Y) для нескольких десятков пар конкретных исторических текстов-хроник, летописей и т. п. Детали см. в [904], [908], [1137], [884].

Оказалось, что коэффициент p(X, Y) достаточно хорошо различает заведомо зависимые и заведомо независимые пары исторических текстов. Обнаружилось, что для всех исследованных нами пар реальных летописей X, Y, описывающих заведомо разные события (разные исторические эпохи или разные государства), — то есть для независимых текстов, — число p(X, Y) колеблется от 1 до 1/100 при количестве локальных максимумов от 10 до 15. Напротив, если исторические летописи X и Y заведомо зависимы, то есть описывают одни и те же события, то число p(X, Y) не превосходит 10⁸ для того же количества максимумов.

Таким образом, между значениями коэффициента для зависимых и независимых текстов обнаруживается разрыв на несколько порядков. Подчеркнем, что здесь важны не абсолютные величины получающихся коэффициентов, а тот факт, что «зона коэффициентов для заведомо зависимых текстов» отделена несколькими порядками от «зоны коэффициентов для заведомо независимых текстов». Приведем типичные примеры. Точные значения функций объемов для особо интересных летописей мы приводим в Приложении 2 в конце книги.

ПРИМЕР 1. На рис. 5.9–5.11 показаны графики объемов двух заведомо зависимых исторических текстов.

Рис. 5.9. Функции объема летописи «античного» Тита Ливия и современного учебника Сергеева. Налицо ярко выраженная корреляция. Первая часть.

Рис. 5.10. Функции объема летописи «античного» Тита Ливия и современного учебника Сергеева. Вторая часть.

Рис. 5.11. Функции объема летописи «античного» Тита Ливия и современного учебника Сергеева. Третья часть.

А именно, в качестве текста X мы взяли историческую монографию современного автора B.C. Сергеева «Очерки по истории древнего Рима», тома 1–2, М., 1938, ОГИЗ.

В качестве текста Y мы взяли «античный» источник, а именно, «Римскую историю» Тита Ливия, тома 1–6, М., 1897–1899.