Четвертое измерение

И сумма углов треугольника, и количество прямых, параллельных данной прямой линии и проходящих через точку вне ее, зависит от типа геометрии: евклидовой, гиперболической или эллиптической.

Сначала работы этих гениев никого не заинтересовали. Труды Лобачевского были в основном на русском языке, а Бойяи опубликовал свою статью в качестве приложения. Математическое сообщество проявило интерес к этой теме только после лекции немецкого математика Бернхарда Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854), которую мы рассмотрим более подробно в следующих главах. Риман был первым математиком, который обратил внимание на возможность существования геометрии, вытекающей из гипотезы тупых углов, так называемой эллиптической геометрии, в которой не существует прямых, параллельных данной прямой и проходящих через точку вне ее. Его идея заключалась в замене гипотезы бесконечного пространства на гипотезу неограниченного пространства. Например, сфера является конечной, но неограниченной.

* * *

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792–1856)

Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным, очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым работником, который посвятил свою жизнь работе в Казанском университете. После окончания физико-математического факультета родного университета он начал в нем преподавать и вскоре получил должность декана факультета, а затем стал ректором Казанского университета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно с занятиями математикой он добился исключительных результатов на этой должности. Он улучшал здания университета и строил новые, организовывал работу библиотеки (иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и новую клинику и привлек на работу лучших преподавателей и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересовался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероятностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его работой была «Алгебра, или Вычисление конечных».

Советская марка с портретом Лобачевского.

Рождение многомерной геометрии

В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых поверхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия, в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после открытия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использовать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж начали применять его также для поверхностей.

Однако даже работа Гаусса не содержит систематического и исчерпывающего исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Гаусс заинтересовался поверхностями, когда занимался задачами геодезии и картографии, еще в Ганновере работая над методом триангуляции, а также благодаря своим астрономическим исследованиям. В «Общих исследованиях о кривых поверхностях», изучая поверхности в геометрических пространствах, он открыл новый научный метод. Он первым начал рассматривать поверхности как объекты, которые могут быть описаны двумя координатами и хг называемыми локальными координатами. До Гаусса поверхности считались всего лишь границами твердых тел. В то время как обычная геометрия изучала объекты на плоскости и в пространстве в их целостности, новая дифференциальная геометрия концентрировалась на отдельных локальных свойствах кривых и поверхностей.