Чего не знает современная наука

Легенда говорит, что свойства музыкальной гармонии настолько вдохновили Пифагора, что в отношениях целых чисел он стал искать главный ключ к законам мироздания. По его идее, весь мир пронизан вибрациями, и чтобы познать его, надо уметь услышать голоса мира, «музыку сфер», прикоснуться к идеальной пропорциональности вселенских созвучий.

Золотое сечение

Еще одним ярким примером пропорции, закрепляющей мимолетное чувство гармонии в строгих фиксированных математических законах, является так называемое отношение золотого сечения. Первое формальное ее определение содержится в «Началах» Евклида: «Говорят, что отрезок прямой разделен лучшим образом, пропорционально, если целая часть так относится к большей части, как большая к меньшей». Отношение золотого сечения встречается и в природных объектах: в пропорциях человеческого тела, в строении раковины улитки, в рисунке паутины, и в искусстве: архитектуре, живописи, скульптуре, музыке. Построение художественного произведения по законам золотой пропорции стало синонимом его совершенства: Парфенон в Афинах, храм Василия Блаженного в Москве, скульптуры Фидия, полотна Боттичелли, Рафаэля, Леонардо да Винчи, фуги Баха, сонаты Бетховена – везде присутствует золотое отношение.

Понятие подобия в современной науке

Имея еще с древности столь блестящие подтверждения действенности математики в решении проблемы поиска единства явлений природы, человек продолжает искать новые объекты, новые законы, новые знаки и символы, отражающие общие принципы.

XVIII век, эпоха Просвещения. Вдруг осознается, что мир может меняться, он не застывший, статичный, а подвижный; возникает интерес к описанию движения. Трудами Ньютона и Лейбница разрабатываются теория бесконечно малых и дифференциальное исчисление. Снова поразительные результаты математического метода! Оказывается, если известны начальное состояние и скорость (т. е. отношение бесконечно малых пути и времени), то поведение системы полностью определено.

Успехи математической физики просто поражают. Бесконечное разнообразие природы описывается математическими моделями, составленными из небольшого числа уравнений, их можно классифицировать – например, как гиперболические, параболические и эллиптические, – и изучить качественное поведение их решений. Явления природы разнятся по форме, но в основе их лежит не так уж много сценариев, главных механизмов. Кажется, вот-вот будет ухвачен общий принцип, основа всего сущего, еще чуть-чуть – и не останется никаких тайн… Но чем дальше в глубь вещества или в глубины космоса – тем больше проблем; с любовью создаваемое здание науки рушится на пороге XX века.

Кризис классической физики вновь разрешается на математическом пути: волновая, или квантовая, механика, современная теоретическая физика, теория нелинейных динамических систем – все они немыслимы без математики, более того, зачастую даже выглядят как ее разделы. Возникают новые математические объекты – функции, случайные процессы и поля, операторы… Кажется, что математические построения, модели, символы и средства времен фараонов, критских архитекторов, Пифагора и Архимеда безнадежно устарели, мы снисходительно называем их наивными…

Но вернемся к пропорции. В рассмотренных примерах музыкальной гармонии и золотого сечения мы под пропорциями понимали отношение двух величин, измеренных с помощью одного и того же эталона. Равенство двух таких отношений выражает принцип подобия. Но подобие можно понимать и в более широком смысле. Например, все явления, описывающиеся дифференциальными уравнениями гиперболического типа, можно считать подобными, поскольку их поведение сходно на качественном уровне. Различные реализации случайного процесса тоже подобны, так как они описываются качественно одной и той же математической моделью. Можно считать, что современная наука только подтвердила, развила, наполнила новыми особенностями древний принцип, записанный еще на изумрудной скрижали Тота-Гермеса: «Все во всем» или «Что наверху, то и внизу». Сегодня этот принцип можно сформулировать как самоподобие мира: его части устроены так же, как и целое.

Фрактал: геометрический образ подобия

Обозначением, символом самоподобия в современной математике является относительно недавно возникшее геометрическое понятие «фрактал».