Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Свойства делимости влияют также и на таблицу умножения. Самое простое для запоминания умножение в системе с любым основанием — это умножение на числа, на которые это основание делится. Вот почему при основании 10 таблицу умножения на 2 и 5 — где в результате могут получиться только четные числа и числа, оканчивающиеся на 5 или 0, — так легко запомнить. Подобным же образом при основании 12 простейшая часть таблицы умножения — это умножение на делители основания, то есть 2, 3, 4 и 6:

2 × 1 = 2,	3 × 1 = 3,	4 × 1 = 4,	6 × 1 = 6,
2 × 2 = 4,	3 × 2 = 6,	4 × 2 = 8,	6 × 2 = 10,
2 × 3 = 6,	3 × 3 = 9,	4 × 3 = 10,	6 × 3 = 16,
2 × 4 = 8,	3 × 4 = 10,	4 × 4 = 14,	6 × 4 = 20,
2 × 5 = Χ,	3 × 5 = 13,	4 × 5 = 18,	6 × 5 = 26,
2 × 6 = 10,	3 × 6 = 16,	4 × 6 = 20,	6 × 6 = 30,
2 × 7 = 12,	3 × 7 = 19,	4 × 7 = 24,	6 × 7 = 36,
2 × 8 = 14,	3 × 8 = 20,	4 × 8 = 28,	6 × 8 = 40,
2 × 9 = 16,	3 × 9 = 23,	4 × 9 = 30,	6 × 9 = 46,
2 × Χ = 18,	3 × Χ = 26,	4 × Χ = 34,	6 × Χ = 50,
2 × 1Ƹ = 1Χ,	3 × Ƹ = 29,	4 × Ƹ = 38,	6 × Ƹ = 56,
2 × 10 = 20,	3 × 10 = 30,	4 × 10 = 40,	6 × 10 = 60.

Посмотрите на последние цифры в каждом столбце, и вы увидите замечательную закономерность. При умножении на 2 вы, конечно, получаете четные числа; при умножении на 3 — числа, оканчивающиеся на 3, 6, 9 и 0; при умножении на 4 — числа, оканчивающиеся на 4, 8 и 0, а при умножении на 6 — числа, оканчивающиеся на 6 или 0. Другими словами, при основании 12 мы получаем таблицу умножения на 2, 3, 4 и 6 «забесплатно». Поскольку многие дети испытывают сложности в запоминании таблицы умножения, переход к основанию 12 был бы гуманитарным актом величайшего масштаба. Так, по крайней мере, утверждают некоторые ученые.

Самым знаменитым призывом к борьбе за дюжину стала статья писателя Ф. Эмерсона Эндрюса, опубликованная в «Atlantic Monthly» в октябре 1934 года. Эта статья привела к созданию Американского дуодецимального общества (АДО). (Впоследствии название было изменено на Американское дюжинное общество). Эндрюс утверждал, что принятие десятичной системы означало «не имеющую оправдания недальновидность, и ставил вопрос о том, будет ли отказ от нее сопряжен с „колоссальными потерями“». «Duodecimal Bulletin», который продолжает выходить по сей день, представляет собой отличное издание и единственное место за пределами медицинской литературы, где появляются статьи о гексадактильности — шести пальцах при рождении. (Она распространена более широко, чем можно было бы подумать: один из каждых 500 людей рождается по крайней мере с одним лишним пальцем на руках или ногах.) Юношеская страсть Майкла де Флигера к основанию 12 не увяла; в настоящий момент он является президентом АДО. Майкл столь привержен к этой системе, что использует ее в своей работе дизайнера цифровых архитектурных моделей.

Как мы уже отмечали, таблицу умножения с основанием 12 учить определенно легче. Но еще одно величайшее преимущество этого основания заключается в том, что оно облегчает действия с дробями. Когда вы собираетесь поделить одно число на другое, основание 10 зачастую проявляет изрядную строптивость. Например, одна треть от 10 равна 3,33…, где тройки продолжаются до бесконечности. Четверть от 10 равна 2,5, где потребовался разряд после запятой. При основании же 12 треть от 10 — это 4, а четверть от 10 — это 3. Неплохо, правда? Будучи выражена в процентах, треть становится 40 процентами[5], а четверть — 30 процентами. На самом деле, если посмотреть, как именно 100 делится на числа от 1 до 12, то станет ясно, что основание 12 приводит к более компактной системе:

Доля от 100	Десятичн.	Дюжинн.
Целое	100	100
Половина	50	60
Треть	33,333…	40
Четверть	25	30
Пятая	20	24;97…
Шестая	16,666…	20
Седьмая	14,285	18;6Χ35…
Восьмая	12,5	16
Девятая	11,111…	14
Десятая	10	12;497…
Одиннадцатая	9,09…	11;11…
Двенадцатая	8,333…	10

(точка с запятой означает «дюжинную запятую»)