Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Пока задачи формулировались риторически, как это было в Египте, математики применяли изобретательные, но довольно бессистемные методы для их решения. Древние решатели задач были подобны участникам экспедиции, застрявшим в тумане и вынужденным полагаться лишь на несколько ухищрений, помогающих продвигаться вперед. Когда же задачи стали формулировать, используя символы, туман этот рассеялся, и перед математиками предстал мир с исключительно ясными очертаниями. Диво алгебры состоит в том, что порой одна лишь запись задачи в символическом виде уже почти дает ее решение.

Вернемся к тому фокусу, о котором я рассказал в начале главы. Я попросил вас назвать трехзначное число, в котором первая и последняя цифры различались бы по крайней мере на два. А далее требовалось получить второе число, переставив цифры в исходном числе в обратом порядке.

Затем надо было вычесть меньшее число из большего. Так что если вы выбрали число 614, то число с переставленными цифрами было бы равно 416, и 614 - 416 = 198. В качестве последнего действия предлагалось сложить полученную разность и число, получающееся в результате перестановки в ней цифр в обратном порядке. В только что выбранном примере это будет 198 + 891.

Как и раньше, ответ равен 1089. Таким он будет всегда — и алгебра объясняет нам почему. Но прежде всего нам надо выработать способ для записи нашего главного героя — трехзначного числа, в котором первая и последняя цифры различаются по крайней мере на два.

Рассмотрим число 614. Оно равно 600 + 10 + 4. На самом деле любое трехзначное число вида abcможно записать как 100 a+ 10 b+ с. Итак, пусть наше исходное число есть abc,где а, bи с —отдельные цифры. Для удобства будем считать, что абольше c.

Переставление цифр дает cba,что можно выразить как 100 c+ 10 b+ а.

Для получения промежуточного результата требуется вычесть cbaиз abc.Получаем, что abc- cbaравно

(100 a+ 10 b+ с) - (100 c+ 10 b+ а).

Два члена с буквой bсокращают друг друга, так что промежуточный результат равен

99 a- 99 c, или 99( a- c).

На своем начальном уровне алгебра не предполагает особо глубоких озарений, однако требует соблюдения ряда правил. Цель всего происходящего состоит в том, чтобы применять эти правила, пока выражение не станет максимально простым. Выражение 99( a- c) приведено именно в такой вид, в какой нужно.

Поскольку первая и последняя цифры в числе abcразличаются по крайней мере на 2, получаем, что а- сможет иметь одно из значений 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.

Тем самым, число 99( a- с) — одно из следующих: 198, 297, 396, 495, 594, 693 или 792. С какого бы трехзначного числа мы ни начали, вычитание его из числа, записанного с помощью его же цифр, взятых в обратном порядке, даст промежуточный результат, который непременно будет равен одному из семи перечисленных чисел.

Заключительный этап состоит в том, чтобы сложить это промежуточное число с тем, которое получается из него изменением порядка цифр на противоположный.

Повторим то, что мы делали выше, в применении к промежуточному числу.

Пусть наше промежуточное число равно def,то есть 100 d +10 e+ fТребуется сложить defи fed.

Рассматривая приведенный список возможных промежуточных чисел, мы замечаем, что среднее число eвсегда равно 9. Кроме того, первая и третья цифры всегда дают в сумме 9 — другими словами, d+ f= 9.

Итак, def + fedравно

100 d+ 10 e+ f+ 100 f+ 10 e+ d,

или

100( d+ f) + 20 e+ d+ f,

что есть

(100 x 9) + (20 x 9) + 9.

Или, другими словами,

900 + 180 + 9.

Вуаля! Сумма равна 1089 — и секрет фокуса раскрыт.

Элемент неожиданности в «фокусе 1089» состоит в том, что, какое бы число мы случайно ни выбрали, в ответе всегда получается одно и то же. Алгебра позволяет увидеть то, что скрыто за ловкостью рук, указывая путь, ведущий от конкретного к абстрактному, то есть предлагая следить не за поведением отдельного числа, а за поведением любого,произвольного числа. Это незаменимое средство, причем не только в математике. Другие науки также полагаются на язык уравнений.

* * *