Читаем Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков полностью

Почти невозможно убедительно рассказать о блестящем таланте Эйлера или о разнообразии и оригинальности его открытий в чем-то меньшем по объему, чем книга. Даже в этом случае это было бы непросто. Но мы можем бросить хотя бы один короткий взгляд на его достижения и проникнуться его замечательными способностями. Я начну с теоретической математики, а затем перейду к прикладной, не обращая внимания на хронологию, но стараясь выдерживать некоторую последовательность в развитии идей.

Во-первых и в-главных, Эйлер обладал поразительным чутьем на формулы. В своем «Введении в анализ бесконечно малых» 1748 г. он исследовал соотношение между экспоненциальной и тригонометрическими функциями для комплексных чисел, дающее формулу

eiθ = cos θ + i sin θ.

Отсюда, приняв θ = π радиан = 180°, можно вывести знаменитое уравнение

e +1 =0,

связывающее две загадочные константы e и π и мнимое число i. Здесь e = 2, 718… является основанием натурального логарифма, а i – символ, который Эйлер ввел для корня квадратного из –1; он тоже широко используется и сегодня. Теперь, когда мы лучше понимаем комплексный анализ, это соотношение не кажется чем-то удивительным, но во времена Эйлера оно казалось сногсшибательным. Тригонометрические функции опираются на геометрию окружностей и измерения треугольников; экспоненциальная функция берет начало в математике сложного процента и опирается на логарифм как расчетный инструмент. Почему такие далекие друг от друга вещи должны быть так тесно, можно сказать интимно, связаны?

Сверхъестественное мастерство Эйлера в работе с формулами привело к триумфу и принесло ему великую славу в возрасте 28 лет, когда он решил базельскую задачу. Математики тогда активно искали интересные формулы для сумм бесконечных рядов, простейшей из которых, возможно, является формула

Базельская задача состояла в том, чтобы найти сумму обратных квадратов:

Многие знаменитые математики безуспешно пытались найти ответ на этот вопрос: Лейбниц, Стирлинг, де Муавр и трое самых искусных Бернулли: Якоб, Иоганн и Даниэль. Эйлер превзошел всех, доказав (или, по крайней мере, проведя расчет, на это указывающий, – строгость доказательств не была его сильной стороной), что эта сумма точно равна

Более простая бесконечная сумма, «гармонический ряд» обратных целых чисел, выглядит так:

и расходится – его сумма бесконечна. Невозмутимый Эйлер нашел весьма точную приближенную формулу:

где γ, которую мы сегодня называем постоянной Эйлера, равна, до 16 знаков после запятой,

0, 577215664015328…

Эйлер сам вычислил ее значение с такой точностью. Вручную.

Теория чисел, естественно, привлекала внимание Эйлера. Он вдохновлялся в значительной мере примером Ферма, а дополнительную мотивацию давала его переписка с другом Гольдбахом, математиком-любителем. Решение базельской задачи привело его к замечательному соотношению между простыми числами и бесконечными рядами (глава 15). Он нашел доказательства нескольких фундаментальных теорем, сформулированных Ферма. Одной из них была так называемая Малая теорема Ферма, названная так, чтобы отличать ее от Великой теоремы Ферма. Эта теорема гласит, что если n – простое число и a не кратно n, то an – a делится на n. Каким бы безобидным ни казалось на первый взгляд это утверждение, сегодня оно является основой для некоторых нераскрываемых, как считается, шифров, широко используемых в интернете. Кроме того, он обобщил результат для составного n, введя тотиент (или функцию Эйлера) ϕ(n). Это число целых чисел между 1 и n, не имеющих с n общих простых делителей. Он предложил гипотезу о законе квадратичной взаимности, позже доказанную Гауссом (глава 10); описал все простые числа, представляющие собой сумму двух квадратов (2, все числа вида 4k + 1, но не числа вида 4k + 3), и улучшил теорему Лагранжа о том, что любое положительное целое число есть сумма четырех квадратов.

Учебники Эйлера по алгебре, математическому анализу, комплексному анализу и другим дисциплинам стандартизировали математическую запись и терминологию, значительная часть которой используется и сегодня (к примеру, π для числа «пи», e для основания натурального логарифма, i для корня квадратного из –1, Σ для суммы и f(x) для общего обозначения функции от x). Он даже свел воедино системы записи Ньютона и Лейбница по дифференциальному исчислению.

* * *

Мне нравится определять математика не как «человека, который занимается математикой», но как «человека, который видит возможность применить математику там, где никто другой ее не увидел бы». Эйлер редко упускал такую возможность. Вот два примера, которые дали начальный толчок развитию новой области, известной сегодня как комбинаторика, или дискретная математика; область эта занимается счетом и упорядочиванием конечных объектов.

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Траектория»

Братья Райт. Люди, которые научили мир летать
Братья Райт. Люди, которые научили мир летать

В начале XX века человечество охватила «летная лихорадка» – страстное стремление воплотить, наконец, в жизнь многовековую мечту об управляемом полете. Правительства США и стран Европы тратили огромные суммы на программы по созданию первого летательного аппарата с мотором. А в это время в небольшом американском городке в штате Огайо два сына местного епископа на собственные небольшие средства строили свою летающую машину. История о том, как скромные владельцы велосипедной мастерской, не окончившие даже колледжа, сконструировали и испытали первый в мире управляемый самолет, рассказанная лауреатом Пулитцеровской премии, обладателем Национальной книжной премии США Дэвидом Маккаллоу.Орвилл и Уилбур Райт заинтересовались полетами после знакомства с детской французской игрушкой, похожей на «вертолет» с двумя пропеллерами и резиновой лентой. Любопытство, пытливость ума, чтение книг и страсть к полетам помогли братьям Райт сконструировать первый управляемый самолет.Из книги, полной биографических и исторических подробностей, читатель узнает, как братья Райт наблюдали за птицами и почему этот опыт оказался необходимым при испытании первых планеров в неприметном Китти Хок на Внешних отмелях, как неудачи только подтолкнули к окончательной решимости летать и как четыре полета на «Флайере» в декабре 1903 года изменили ход истории человечества.

Дэвид Маккаллоу

Публицистика
Происхождение всего: От Большого взрыва до человеческой цивилизации
Происхождение всего: От Большого взрыва до человеческой цивилизации

Невероятно компактный рассказ геофизика Дэвида Берковичи о том, как все везде появилось: звезды и галактики, атмосфера Земли, океаны, клетка и, наконец, человеческие цивилизации, написан трепетно и талантливо. Сочетая юмор и безупречную научную канву, Берковичи с головокружительной скоростью проводит нас сквозь пространство и время – почти 14 млрд лет, показывая при этом связи между теориями, помогающие понимать такие темы, как физика частиц, тектоника плит и фотосинтез. Уникальный эксперимент Берковичи в равной мере впечатляет научной убедительностью и литературным мастерством и станет незабываемым опытом знакомства с вопросами космологии, геологии, климатологии, человеческой эволюции как для искушенного читателя, так и для новичка.

Дэвид Берковичи

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Зарубежная образовательная литература / Образование и наука
Как работает Вселенная: Введение в современную космологию
Как работает Вселенная: Введение в современную космологию

Эта книга посвящена космологии – науке, недавно отпраздновавшей свое столетие. Она объясняет, почему мы уверены, что у Вселенной есть начало, где и когда произошел Большой взрыв, что означает разбегание галактик, как образовалось все, что нас окружает, от атомов до галактик, каково будущее Вселенной, существуют ли миры с другими физическими законами, что такое черные дыры и многое другое. Подробно рассказывается про то, что нам известно и что неизвестно про две таинственные сущности, которые вместе составляют более 95 % содержимого Вселенной – темную материю и темную энергию. Кроме того, показаны физические основы общей теории относительности и предсказанные ею эффекты.Книга ориентирована на широкий круг читателей, но некоторые ее разделы, в которых излагаются элементы нерелятивисткой космологии, требуют знания математики на уровне начальных курсов университета. Эту часть можно рассматривать как своеобразный учебник, в котором основные космологические решения получены без использования математического аппарата общей теории относительности.

Сергей Л. Парновский

Астрономия и Космос / Прочая научная литература / Образование и наука

Похожие книги

Адмирал Советского Союза
Адмирал Советского Союза

Николай Герасимович Кузнецов – адмирал Флота Советского Союза, один из тех, кому мы обязаны победой в Великой Отечественной войне. В 1939 г., по личному указанию Сталина, 34-летний Кузнецов был назначен народным комиссаром ВМФ СССР. Во время войны он входил в Ставку Верховного Главнокомандования, оперативно и энергично руководил флотом. За свои выдающиеся заслуги Н.Г. Кузнецов получил высшее воинское звание на флоте и стал Героем Советского Союза.В своей книге Н.Г. Кузнецов рассказывает о своем боевом пути начиная от Гражданской войны в Испании до окончательного разгрома гитлеровской Германии и поражения милитаристской Японии. Оборона Ханко, Либавы, Таллина, Одессы, Севастополя, Москвы, Ленинграда, Сталинграда, крупнейшие операции флотов на Севере, Балтике и Черном море – все это есть в книге легендарного советского адмирала. Кроме того, он вспоминает о своих встречах с высшими государственными, партийными и военными руководителями СССР, рассказывает о методах и стиле работы И.В. Сталина, Г.К. Жукова и многих других известных деятелей своего времени.Воспоминания впервые выходят в полном виде, ранее они никогда не издавались под одной обложкой.

Николай Герасимович Кузнецов

Биографии и Мемуары
100 великих гениев
100 великих гениев

Существует много определений гениальности. Например, Ньютон полагал, что гениальность – это терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении. Гёте считал, что отличительная черта гениальности – умение духа распознать, что ему на пользу. Кант говорил, что гениальность – это талант изобретения того, чему нельзя научиться. То есть гению дано открыть нечто неведомое. Автор книги Р.К. Баландин попытался дать свое определение гениальности и составить свой рассказ о наиболее прославленных гениях человечества.Принцип классификации в книге простой – персоналии располагаются по роду занятий (особо выделены универсальные гении). Автор рассматривает достижения великих созидателей, прежде всего, в сфере религии, философии, искусства, литературы и науки, то есть в тех областях духа, где наиболее полно проявились их творческие способности. Раздел «Неведомый гений» призван показать, как много замечательных творцов остаются безымянными и как мало нам известно о них.

Рудольф Константинович Баландин

Биографии и Мемуары
100 великих интриг
100 великих интриг

Нередко политические интриги становятся главными двигателями истории. Заговоры, покушения, провокации, аресты, казни, бунты и военные перевороты – все эти события могут составлять только часть одной, хитро спланированной, интриги, начинавшейся с короткой записки, вовремя произнесенной фразы или многозначительного молчания во время важной беседы царствующих особ и закончившейся грандиозным сломом целой эпохи.Суд над Сократом, заговор Катилины, Цезарь и Клеопатра, интриги Мессалины, мрачная слава Старца Горы, заговор Пацци, Варфоломеевская ночь, убийство Валленштейна, таинственная смерть Людвига Баварского, загадки Нюрнбергского процесса… Об этом и многом другом рассказывает очередная книга серии.

Виктор Николаевич Еремин

Биографии и Мемуары / История / Энциклопедии / Образование и наука / Словари и Энциклопедии