Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Обратим теперь внимание на то, что в обеих рассмотренных интерпретациях фигурировали множества элементов, являющихся областями значений пропозициональных переменных; именно на этих множествах получали определение операции ~, &, V, свойства которых были ранее установлены равенствами 1—17 из пункта IV, и в этих же множествах находились элементы — результаты применений операций (последнее свойство называется замкнутостью множества относительно данных операций). Тем самым эти множества составляют то, что называется булевыми алгебрами. Булева алгебра—это любое множеством объектов, для которых определены одна одночленная (одноместная, унарная) операция (~) и две двучленных (двуместных, бинарных) операции (&, V) причем множество М замкнуто относительно этих операций; в нем имеются объекты, соответствующие константам 0 и 1 рассмотренного нами исчисления (нуль и единица булевой алгебры); одночленная операция, которую мы назвали отрицанием, подчиняется закону снятия двойного отрицания, а двучленные операции, которые мы назвали конъюнкцией и дизъюнкцией, обе коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны одна относительно другой, подчиняются законам поглощения и, вместе с отрицанием, законам Де Моргана, а также законам, в которых фигурируют 0 и 1 (законы 14—17) (ср. с. 55)[20]. В первой из наших интерпретаций булевой алгеброй является множество из двух элементов — 0 и 1, во второй — множество истинностных значений (впрочем, можно считать, что булевой алгеброй здесь было множество высказываний[21]. понимаемых, однако, так, что высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, не различаются)[22]; как мы убедимся ниже, имеются и другие интерпретации булевой алгебры.

Формальный аппарат, изложенный в пп. I—IV (пункт V, как говорят, не расширяет его возможностей), можно понимать как теорию абстрактной булевой алгебры — булевой алгебры как любого множества объектов (носителя), взятого вместе с семейством операций. определенных на этом множестве, которое удовлетворяет всем требованиям данного аппарата, причем как теорию в узком смысле: как некоторое исчисление (равенств). Такую теорию следует отличать от теории булевых алгебр в широком смысле, в которой исследуются свойства приведенного формального аппарата (и аналогичных ему построений) и его интерпретации, формализации булевых алгебр средствами тех или иных логических систем, обобщения понятия булевой алгебры и т. д.

В логике исчислением обычно называют систему правил порождения объектов, допускающих осмысление (интерпретацию), и позволяющую выделять среди осмысленных объектов такие, которые в интерпретациях оказываются в каком-либо разумном смысле истинными суждениями. В рассмотренном нами исчислении объекты возникают в два этапа:

на первом с помощью пп. I и II порождаются формулы (и —с помощью п. V —их сокращения),

на втором (п. III) из формул строятся равенства. Далее среди возникших таким образом объектов происходит отбор тех из них, которые в интерпретациях оказываются верными, отбор равенств[23], истолковываемых как суждения о свойствах элементов соответствующей булевой алгебры, выраженные в терминах ~, & и V. Этот отбор задается постулатами (п. IV); он основан на процедуре порождения верных равенств посредстве м правил вывода [b], исходя из равенств, представляющих собой аксиомы (согласно списку схем аксиом [а]).

Проиллюстрируем механизм подобного порождения на приведенном выше (с. 64) примере доказательства равенства

Шаг (1) состоял в следующем. Было взято равенство (A1 → ~A2) = (~A1 V ~A2), верное по определению (п. V), и к нему применено правило вывода —замена равным [b] следующим образом: в ((A1 → ~A2) & (A3 → A1)) →

(A3 → ~A2) часть (A1 → ~A2) была заменена на формулу (~A1 V ~A2), в результате чего получилось верное равенство:

Здесь роль α, фигурирующей в формулировке правила замены равным, играло выражение (A1 → ~A2)» роль β — формула (~A1 V ~A2), роль Ф[а]—выражение ((А1 → A2) & (A3 → A1)) → ( A3 → ~A2). роль Ф[β] - выражение ((~A1 V ~A2) & (A3 → A1)) → (A3→ ~A2). На шагах (2) и (3) в последнем выражении была произведена аналогичная замена импликативных выражений равными им (в силу определения п. V) дизъюнктивными формулами. Читатель может самостоятельно проследить, как применялось правило замены (и правила, выражающие симметричность и транзитивность равенства) на всех шагах доказательства, приведенного на с. 64—65. Заметим, что на некоторых шагах правило замены использовалось несколько раз.