Загадки и диковинки в мире чисел

Между тем мы вправе были бы гордиться нашими десятикосточковыми счетами, так как при изумительной простоте своего устройства они, по достигаемым на них результатам, могут соперничать в некоторых отношениях даже со сложными, дорогостоящими счетными машинами западных стран. В умелых руках этот нехитрый прибор делает порою настоящие чудеса. Иностранцы, впервые знакомящиеся с нашими сметами, охотно признают это и ценят их несравненно выше, нежели мы сами. Специалист, заведовавший одной из крупных русских фирм по продаже счетных машин, рассказывал мне, что ему не раз приходилось изумлять русскими счетами иностранцев, привозивших ему в контору образцы сложных счетных машин. Он устраивал состязание между двумя счетчиками, из которых один работал на дорогой заграничной «аддиционной» машине (т. е. машине для сложения), другой же пользовался обыкновенными счетами. И нередко случалось, что последний – правда, большой мастер своего дела, – брал верх над обладателем заморской машины в быстроте и точности вычислений. Бывало и так, что иностранец, пораженный быстротой работы на счетах, сразу же сдавался и складывал свою сложную машину обратно в чемодан, не надеясь продать в России ни одного экземпляра.

– К чему вам дорогие счетные машины, если вы так искусно считаете при помощи ваших дешевых счетов! – говорили нередко представители иностранных фирм.

А ведь заграничные машины в сотни раз дороже наших конторских счетов!

Правда, на русских счетах нельзя производить всех тех действий, которые выполняются машинами. Но во многом, например, в сложении и вычитании, счеты смело могут соперничать со сложными механизмами. Впрочем, умножение и деление в искусных руках также значительно ускоряются на счетах, – если знать специальные приемы выполнения этих действий.

Познакомимся же с некоторыми из этих приемов.

Умножение на счетах

Вот несколько приемов, пользуясь которыми, всякий, умеющий быстро складывать на счетах, сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется простым сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собою.

Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, – т. е. умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счетов – мы уже объяснили выше, на стр. 37).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.

Вместо умножения на 7 множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.

Умножение на 8 заменяют умножением на 10 без двух.

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 без 1.

При умножении на 10 – переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.

Читатель теперь, вероятно, уже и сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа больше 10 и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить 10+1; множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2 + 10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.

Вот несколько особых случаев для множителей первой сотни:

20 = 10 × 2

22 = 11 × 2

25 = (100: 2): 2

26 = 25 + 1

27 = 30 – 3

32 = 22 + 10

42 = 22 + 20

43 = 33 + 10

45 = 50 – 5

63 = 33 + 30 и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п., а потому следует стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если искусственные приемы утомительны, мы всегда можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения – это все же дает некоторое сокращение времени.

Деление на счетах

Выполнять деление с помощью конторских счетов гораздо труднее, чем умножать; для этого нужно запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно сложных. Интересующимся ими придется обратиться к специальным руководствам. Здесь же укажу лишь, для примера, удобные приемы деления с помощью счетов на числа первого десятка (кроме числа 7, способ деления на которое чересчур сложен).

Как делить на 2, мы уже знаем – способ этот очень прост.

Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в замене деления умножением на бесконечную периодическую дробь 3,3333… (известно, что 0,333… = 1/3). Умножать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшать в 10 раз – тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После не долгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд такой сложный, оказывается на практике довольно удобным.

Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делением на 2.

Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.

На 6 делят с помощью счетов в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.

Деление на 7, как мы уже сказали, выполняется помощью счетов чересчур сложно, и потому мы излагать его не будем.