Загадки и диковинки в мире чисел

Из первых 8 конвертов возможно, как нетрудно убедиться, составить любую сумму от 1 до 255; если же задается число большее, то пускают в дело последний конверт, с 45 рублями, а разницу составляют из первых восьми конвертов.

Вы можете проверить пригодность такой группировки чисел многочисленными пробами и убедиться, что из них можно действительно составить всякое число, не превышающее 300. Но вас, вероятно, интересует и то, почему собственно ряд чисел 1,2,4, 8,16, 32, 64 и т. д. обладает столь замечательным свойством. Это нетрудно понять, если вспомнить, что числа нашего ряда представляют степени двух: 21, 22, 23, 24 и т. д. [26] , и, следовательно, их можно рассматривать как разряды двоичной системы счисления. Атак как всякое число можно написать по двоичной системе, то, значит, и всякое число возможно составить из суммы степеней двух, т. е. из чисел ряда 1, 2, 4, 8, 16 и т. д. И когда вы подбираете конверты, чтобы составить из их содержимого заданное число, вы, в сущности, выражаете заданное число в двоичной системе счисления. Например, число 100 мы легко сможем составить, если изобразим его в двоичной системе:

(Напомним, что в двоичной системе на первом месте справа стоят единицы, на втором – двойки, на третьем – четверки, на четвертом – восьмерки и т. д.)

Угадать число спичек в коробке

Тем же свойством двоичной системы счисления можно воспользоваться и для следующего фокуса. Вы предлагаете кому-нибудь взять неполную коробку со спичками, положить ее на стол, а ниже ее положить один за другим 8 бумажных квадратиков. Затем просите в вашем отсутствии проделать следующее: оставив половину спичек в коробке, перенести другую половину на ближайшую бумажку; если число спичек нечетное, то излишнюю спичку положить рядом с бумажкой, налево от нее. Спички, очутившиеся на бумажке, надо (не трогая лежащей рядом) разделить на две равные части: одну половину положить в коробку, другую – переложить на следующую бумажку; в случае нечетного числа остающуюся спичку положить рядом со второй бумажкой. Далее поступать таким же образом, всякий раз возвращая половину спичек обратно в коробку, а другую половину перекладывая на следующую бумажку, не забывая, при нечетном числе спичек, класть одну спичку рядом. В конце концов все спички, кроме одиночных, лежащих рядом с бумажками, возвратятся в коробку.

Когда это сделано, вы являетесь в комнату и, бросив взгляд на пустые бумажки, называете число спичек во взятой коробке.

Этот фокус обыкновенно сильно изумляет непосвященных: кажется совершенно непонятным, как можно по пустым бумажкам и случайным единичным спичкам догадаться о первоначальном числе спичек в коробке. В действительности же «пустые» бумажки в данном случае очень красноречивы: по ним и по одиночным спичкам можно буквально прочесть искомое число, потому что оно написано на столе – в двоичной системе счисления. Поясним это на примере. Пусть число спичек в коробке было 66. Последовательные операции с ними и окончательный вид бумажек показаны на следующих схемах:

Итого……..66.

Не нужно большой проницательности, чтобы сообразить, что проделанные со спичками операции, в сущности, те же самые, какие мы выполнили бы, если бы хотели выразить число спичек в коробке по двоичной системе счисления; окончательная же схема прямо изображает это число в двоичной системе, если пустые бумажки принять за нули, а бумажки, отмеченные сбоку спичкой, – за единицы. Читая схему снизу вверх, получаем

То есть в десятичной: 64 + 2 = 66.

Если бы в коробке было 57 спичек, мы имели бы иные схемы.

Искомое число, написанное по двоичной системе:

А в десятичной: 33 + 16 + 8 + 1 = 57.

Для разнообразия можно также пользоваться двумя и более спичечными коробками и отгадывать сумму заключающихся в них спичек.

Чтение мыслей по спичкам