Загадки и диковинки в мире чисел

Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны. Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующее отделение арифметической кунсткамеры, где показываются фокусы и выставлены числовые исполины; я хочу сказать, – они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями из мира чисел, тех приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.

Магические кольца

Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны 6 цифр в одном и том же порядке, иначе говоря – написано одно и то же число: 142857

. Причина, заставившая поместить эти кольца в нашу арифметическую кунсткамеру, заключается в следующем удивительном свойстве их: как бы ни были повернуты кольца, мы при сложении двух написанных на них чисел – считая от любой цифры в направлении начерченной стрелки – во всех случаях получим… то же самое шестизначное число (если только результат вообще будет 6-значный), лишь немного подвинутое!

Магические кольца

В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы имеем при сложении двух наружных колец:

т. е. опять-таки тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись в начало.

При другом расположении колец относительно друг друга мы имеем, например:

Исключение составляет лишь единственный случай, когда в результате получается 999999 (складываемые цифры дополняют друг друга до девяти):

Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах. Например:

Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры – тогда, разумеется, разность равна нулю. Но и это еще не все замечательные свойства нашего числа 142857. Умножьте его на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите, как и раньше, снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142