Загадки и диковинки в мире чисел

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Основание этого приема очевидно: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 × 13 = 1 × 416.

Но как поступать, если приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо – гласит правило, – в случае нечетного числа откинуть единицу и остаток делить пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):

19 × 17

9 × 34

4 × 68*

2 × 136*

1 × 272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

Нетрудно понять полную теоретическую обоснованность этого приема, если принять во внимание, что

19 × 17 = (18 + 1) 17= 18 × 17 + 17 9 × 34 = (8 + 1) 34 = 8 × 34 + 34 и т. п.

Ясно, что числа – 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Нельзя, как видите, отказать в практичности этому народному приему умножения, который один научный английский журнал («Knowledge» – знание) окрестил «русским крестьянским» способом.

Из Страны пирамид

Весьма вероятно, что способ этот дошел до нас из глубочайшей древности и притом из отдаленной страны – из Египта. Мы мало знаем, как считали и производили действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный памятник – папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это так называемый папирус Ринда, относящийся ко времени между 2000 и 1700 гг. до нашей эры [15] и представляющий собою копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец [16] Аамес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера – вместе с их ошибками и исправлениями учителя – и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:

«Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.

Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом».

В этом интересном документе, насчитывающем за собою около 40 веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера (№ 48, 50, 66 и 79 по нумерации Эйзенлора) умножения, выполненных по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную русскую деревню. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 × 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17: