Введение в логику и научный метод

Однако бывают ситуации, когда никакой из рассмотренных статистических методов не является удовлетворительным. Предположим, мы исследовали несколько сотен листьев с деревьев на предмет соответствия их длины и ширины. Существует ли связь между длиной и шириной листа? На основании наших общих впечатлений мы можем сформировать убеждение о том, что чем длиннее лист, тем он и шире. Однако когда нам приходится рассмотреть множество листьев, то мы уже не можем опираться на поверхностные впечатления, поскольку мы не можем ни запомнить все рассмотренные листы, ни установить между ними значимые отношения. В таком случае мы можем попробовать разложить листья в порядке увеличения их длины, для того чтобы посмотреть, увеличивается ли при этом их ширина. Если две последовательности совпадают, то мы, без сомнения, сможем заключить, что существует определенное отношение между длиной и шириной листа. Если две последовательности совпадают не полностью, а лишь частично, то мы все равно можем подозревать наличие некоторого отношения. Однако нам потребуется некоторая численная мера для соотнесения длин и ширин листьев. Считается, что переменные являются коррелированными, если в последовательности соответствующих примеров этих переменных увеличению или уменьшению в значениях одной из них сопутствует увеличение или уменьшение в значениях другой, будь то в едином направлении или в разных направлениях. Когда значения переменных изменяются в одном направлении (вместе увеличиваются или вместе уменьшаются), корреляция является положительной; когда значения переменных изменяются в противоположных направлениях (одни увеличиваются, а другие уменьшаются), то корреляция является отрицательной.

Существует несколько видов измерения корреляции. Мы рассмотрим только один такой вид, называемый коэффициентом Пирсона. Однако мы не будем рассматривать способ получения этого коэффициента, в силу того что используемый для этих целей аргумент является техническим. Мы просто приведем его определение и продемонстрируем, как он используется. Пусть h1, h2… hn будут значениями переменной h, a w1, w2… wn будут соответствующими значениями переменной w. Это означает, что когда h стоит в значении hlf w стоит в значении и т. д. Далее пусть х1, х2… хn представляют отклонения значений первой переменной от среднего арифметического в n примерах, а у1, у2…уn представляют соответствующие отклонения значений второй переменной. Символы σх и σy будут, как обычно, представлять стандартное отклонение для двух последовательностей. В таком случае коэффициент Пирсона будет обозначаться как

где Σ(ху) обозначает сумму всех произведений соответствующих отклонений, и данная формула читается так: среднее арифметическое произведений отклонений, деленное на произведение двух стандартных отклонений.

Высчитаем данный коэффициент для определения меры корреляции между возрастами мужей и жен в группе из двадцати пар. Таблица на с. 429 представляет необходимую информацию. Следовательно,

Коэффициент Пирсона построен таким образом, что его численное значение положительно, когда корреляция положительна, и отрицательно, когда корреляция отрицательна. Более того, его значение всегда лежит между +1 и -1, где «+ 1» обозначает прямолинейную положительную корреляцию, а «-1» – прямолинейную отрицательную корреляцию. Коэффициент 0 указывает на отсутствие корреляции; в таком случае на основании имеющегося знания о том, как происходят изменения значений одной переменной, мы не можем ничего вывести о том, как происходят изменения значений второй переменной.

§ 5. Опасности и ошибки при использовании статистических методов

Несмотря на свою большую ценность, статистические данные могут быть неправильно использованы и неверно проинтерпретированы, если не учтены допущения, требующиеся для их использования. Поэтому мы должны предостеречь читателя от приведенных ниже элементарных, но часто встречающихся ошибок.

1. Статистические данные предлагают в суммарном виде информацию о признаках некоторой группы значений. Они не предлагают никакой информации ни об одном конкретном элементе группы. Из знания о том, что рождаемость мужчин примерно равна половине от общего показателя рождаемости, мы не можем ничего вывести относительно пола ребенка, который родится следующим.