Введение в логику и научный метод

Самое известное среднее число – это среднее арифметическое. Оно получается в результате сложения набора качеств и деления полученной суммы на количество членов. Если число часов сна для некоторого студента в течение недели равно 7, 6, 6, 5, 8, 7, 9, то среднее арифметическое этой суммы будет равняться 48/7, или 66/7, часа. Читатель может обратить внимание, что среднее арифметическое не равняется числу часов, которые студент просыпает в какой-либо конкретный день. Это обстоятельство с ясностью указывает на то, что средние числа представляют свойства группы и не дают никакой информации о каком-либо индивиде из группы.

Среднее арифметическое выполняет первое, второе и третье из сформулированных выше условий для средних чисел. Ниже мы увидим, что четвертое условие им также выполняется. Однако читателю не следует заблуждаться относительно кажущейся точности, якобы получаемой в результате таких арифметических манипуляций. Мы можем выразить среднее число часов, которые проспал студент, десятичной дробью и получить 6,85914 часа, или 6 часов 51 минуту и 25,7 секунды. Арифметический расчет здесь вполне точный. Однако неверно считать, что данный результат говорит о том, что время, проведенное во сне, в точности соответствует среднему арифметическому. Студент мог сообщить о времени, проведенном во сне, лишь приблизительно с точностью до часа. Он вполне мог бы посчитать 6 часов 15 минут реального времени сна как просто 6 часов. Следовательно, нам следует признать, что точность вычисления в приведенном примере будет кажущейся, если исходные наблюдения не были проведены с такой же долей точности.

Является ли среднее арифметическое удовлетворительной основой для сравнения двух групп? Если средний доход некоторой общины равен $1500, а другой – $1100, то правильно ли на основании этого умозаключать, что члены первой общины состоятельнее членов второй? Нижеследующий пример призван показать, что подобное умозаключение может оказаться ложным, если среднему арифметическому не сопутствует дополнительная информация. Предположим, что в некотором классе студенты имеют в кармане следующие суммы денег: 8 студентов имеют по 50 центов, 4 – по 75 центов, 2 – по $1,50, 1 имеет $11 и 1 имеет $27. Среднее арифметическое для всего класса равняется $3. Предположим также, что в другом классе 9 студентов имеет по 1 доллару, 4 – по $1,50, 1 студент имеет $2 и 1 – $3. Среднее арифметическое для всего класса равняется $1,662/з. Несмотря на то что среднее арифметическое первого класса выше, в нем у 12 студентов (т. е. у 2/з всего класса) меньше денег, чем у любого студента из второго класса. Если мы проанализируем способ высчитывания среднего арифметического, то мы поймем, почему оно так часто является ненадежной основой для сравнений. Дело в том, что значение среднего арифметического подвержено серьезному влиянию сильных изменений в значениях отдельных членов рассматриваемого множества. В приведенном примере наличие в группе относительно небольшого числа очень богатых студентов может существенно повысить среднее арифметическое. Иными словами, две группы могут обладать одним и тем же средним арифметическим, но область изменения внутри этих групп может быть очень разной. Среднее арифметическое не сообщает ничего относительно однородности группы. Поэтому в статистике также требуется и измерение дисперсии.

Несмотря на этот недостаток, среднее арифметическое является важным средним числом в силу его математических свойств и простоты получения. Над ним можно проводить алгебраические манипуляции. Так, предположим, что некий студент получает в течение года следующие оценки по некоторому предмету: 80, 75, 95, 60, 70; среднее арифметическое равняется 74. Во второй год он получает 80, 70, 60, 75, 65, и среднее арифметическое равно 70. Каково среднее арифметическое его оценок за два года? Мы можем сложить десять полученных оценок и разделить результат на 10. Но мы также можем сложить и два средних арифметических и разделить их на 2. В результате мы получим среднюю оценку за два года, равную 72. Данное алгебраическое свойство среднего арифметического очень удобно.

Среднее арифметическое также связано с математической теорией вероятности. Предположим, некий химик проводит несколько сотен измерений веса кислорода. Каждое измерение дает разный результат. Каково «истинное значение» веса кислорода? Если мы примем ряд допущений о том, каким способом могут изменяться значения измерений, например, если мы допустим, что все измерения были проведены с одинаковой точностью, то наиболее вероятное значение веса кислорода будет представлять именно среднее арифметическое.

Среднее взвешенное