Введение в логику и научный метод

Теперь рассмотрим эти семь чисел как элементы класса S. Тогда каждый столбец чисел будет представлять 1-класс. Несложный анализ показывает, что при такой интерпретации каждая из семи аксиом подтверждается на нашем наборе. Следовательно, аксиомы являются непротиворечивыми.

При этом следует подчеркнуть, что данный способ лишь отодвигает затруднение. Ведь все еще остается вопрос о том, является ли непротиворечивым данный набор сущностей, а также наш метод интерпретации. На этот вопрос в данное время полностью удовлетворительного ответа нет. Однако у нас есть определенная уверенность в том, что поскольку аксиомы Евклида позволили нам столь адекватно обращаться со свойствами и отношениями физических тел, то евклидова геометрия, как логическая система, также непротиворечива, поскольку мы полагаем, что ничто, находящееся в пространстве и времени, не может быть самопротиворечивым. Поскольку было показано, что неевклидовы геометрии сопоставимы (элемент к элементу) с евклидовой геометрией в соответствии с формулами определенной трансформации, следовательно, если в неевклидовой геометрии будет обнаружено противоречие, то соответствующее противоречие с необходимостью будет иметь место и в евклидовой геометрии [46] .

Обратимся еще раз к проблеме независимости аксиом и проиллюстрируем нашу проблему посредством нашей миниатюрной системы. Зависит ли аксиома 7\' от остальных аксиом? Ответ будет положительным, если первые шесть аксиом вместе с любым допущением, несовместимым с седьмой аксиомой, формируют непротиворечивое множество. Данное условие эквивалентно отысканию интерпретации, которая будет выполнять первые шесть аксиом и не будет выполнять седьмую. Такую интерпретацию можно дать несколькими способами, одним из которых является следующий:

Данные тринадцать чисел от 0 до 12 включительно являются членами S. Каждый столбец из четырех чисел представляет 1-класс, принадлежащий S. На поверку оказывается, что выполняются все аксиомы, кроме седьмой. Следовательно, данная аксиома независима от остальных шести. Сходным образом мы можем показать, что любое другое допущение независимо от остальных.

§ 6. Математическая индукция

«Но не забываете ли вы, что в математике также имеет место индукция?» – может возразить читатель. «Вы описывали математику как типичную дедуктивную науку, в которой все теоремы являются необходимыми следствиями аксиом. Однако вы ведь не упустите из вида такой метод доказательства, как математическая индукция?».

Читатель, без сомнения, находится в ловушке слов. Действительно, существует метод математической индукции, однако это название не вполне удачно, поскольку подразумевает некое сходство с методом проведения экспериментов и подтверждения гипотез, использующимся в естественных науках. Однако такого сходства на самом деле нет, а математическая индукция является чисто доказательным методом.