Введение в логику и научный метод

Обосновано ли доказательство Птолемея? Следует ли теорема 29 с необходимостью из приведенных аксиом и постулатов без пятого постулата? Рассмотрим более подробно рассуждение, которое мы выделили курсивом. Птолемей утверждает, что если мы допустим, что углы AFG, CGF больше двух прямых углов, то мы также должны допустить, что BFG, DGF также больше (равно как и меньше) двух прямых углов, поскольку все, что истинно для внутренних углов, находящихся на одной стороне секущей FG, с необходимостью одновременно истинно и для внутренних углов, находящихся на другой стороне секущей. Однако данное допущение не включено в постулаты. Птолемей защищает его, утверждая, что AF, CG также параллельны в одном направлении, как FB, GD в другом. Однако это просто сводится к утверждению о том, что через точку F можно провести только одну прямую, параллельную прямой CD. Данное допущение в точности эквивалентно постулату 5, который он и пытается доказать [123] .

Таким образом, доказательство Птолемея неудовлетворительно, и более тщательный анализ его рассуждения смог бы продемонстрировать ему, что это именно так. На самом деле мы знаем, что нельзя показать, что пятый постулат является необходимым следствием остальных постулатов, поскольку можно доказать, что он является независимым от остальных постулатов. Метод доказательства независимости разобран в главе VIII. На данном же этапе читателю следует обратить внимание на то, что строгое разложение аргумента на ряд шагов позволяет обнаружить все допущения, требующиеся для того, чтобы доказательство было обоснованным. Признание делаемых нами допущений и готовность исследовать все их возможные альтернативы являются отличительным признаком метода науки. Этот метод является единственной доступной нам гарантией от догматизма и самонадеянности.

2. Вторым примером значимого в историческом смысле «доказательства» является попытка доказать одно важное суждение в элементарной алгебре. Без сомнения, читатель знаком с правилом, согласно которому произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным. Так, (-3) × (-4) = (+ 12). Можно ли доказать данное суждение? Разумеется, доказательство будет возможным, только если другие суждения будут приняты в качестве посылок. Оказывается, что алгебра тоже может разрабатываться систематически на основании аксиом, относящихся к сложению и умножению количеств. Поэтому наш вопрос должен быть сформулирован следующим образом: можно ли доказать, что суждение о том, что произведение двух отрицательных чисел является положительным, является логическим следствием допущений, относящихся к сложению и умножению только положительных чисел?

К сожалению, систематический анализ алгебры является крайне абстрактным, и его понимание требует существенной интеллектуальной зрелости,