Введение в логику и научный метод

Вероятность совместного появления двух событий иногда может высчитываться, даже если события не являются полностью независимыми. Допустим, в урне находится 3 белых и 2 черных шара, и предположим, что вероятность извлечения каждого из шаров одинакова по сравнению с остальными. Какова вероятность извлечения 2 белых шаров один за другим при первых двух попытках, если шары не заменяются при второй попытке? Изначально вероятность извлечения белого шара равна ⅗ Если извлечен белый шар (и при этом не заменен новым), то в урне остается два белых и два черных шара. Вероятность извлечения второго белого шара, если первый извлеченный шар был белым , равна 2∕4. Из этого следует, что вероятность извлечения двух белых шаров при описанных условиях равна ⅗× ½ или же 3∕10 [48] . Вообще Р ( а ) является вероятностью события а , а Ра(Ь) является вероятностью появления события Ь при появлении события а. Вероятность совместного появления событий: Р(аЬ) = Р(а) х Ра(Ь).

Вероятность одного из взаимоисключающих событий

Иногда нам требуется не вероятность совместного появления событий, а вероятность того, что произойдет одно из событий. Для этих целей мы вводим строго дизъюнктивные, или взаимоисключающие, события. Два события являются взаимоисключающими, если оба не могут произойти одновременно (если происходит одно, то другое отсутствует). При бросании монеты такие события, как выпадение орла или решки, считаются взаимоисключающими. Можно доказать, что вероятность того, что произойдет одно из взаимоисключающих событий, является суммой вероятностей каждого из событий. Какова вероятность получения 2 орлов или 2 решек при двух бросках монеты при допущении того, что вероятность выпадения орла равна ½и что броски осуществляются независимо? Вероятность выпадения двух орлов является произведением вероятностей выпадения орла при первом броске и орла при втором броске, т. е. ¼ Сходным образом вероятность выпадения двух решек равна ¼ Следовательно, вероятность выпадения либо двух орлов, либо двух решек равна ¼+ ¼ т. е. ½ Тот же результат получается при непосредственном применении определения вероятности к четырем возможным событиям: ОО, ОР, РО, РР . Два из перечисленных событий являются благоприятными. Следовательно, искомая вероятность равна 2/4 или ½ Вообще, если Р ( а ) и Р ( b ) являются возможностями двух взаимоисключающих событий соответственно, то вероятность получения одного из двух событий равна Р ( а + b ) = Р ( а ) + Р ( b ).

Две данные теоремы (теорема умножения для независимых событий и теорема сложения для взаимоисключающих событий) являются фундаментальными теоремами исчисления вероятности. С помощью самих этих теорем, а также с помощью их расширений можно с легкостью разрешить и более сложные проблемы. Предположим, что мы по одному разу извлекаем шары из двух урн. При этом в первой содержится 8 белых и 2 черных шара, а во второй —6 белых и 4 черных шара. Извлечение любого из шаров считается равновероятным. Какова вероятность того, что, когда мы извлечем по одному шару из каждой урны, по меньшей мере один из них будет белым? Вероятность извлечения белого шара из первой урны равна 8∕10, а из второй урны —6∕10. Возникает соблазн сложить эти дроби, с тем чтобы получить вероятность извлечения белого шара из любой из двух урн. Однако такой шаг будет ошибочным. О твет будет больше 1, что абсурдно. И действительно, в данном случае мы не можем просто складывать, поскольку данные события не являются взаимоисключающими. Однако мы можем получить нужный результат следующим образом: вероятность неизвлечения белого шара (т. е. извлечения черного шара) из первой урны равна 2∕10; а вероятность неизвлечения белого шара из второй урны равна 4∕10. Следовательно, предполагая, что извлечения осуществляются независимо, вероятность неизвлечения белого шара ни из первой, ни из второй урны равна 2∕10 × 4∕10, т. е. 8∕100. Следовательно, поскольку мы должны либо не извлечь ни одного белого шара из двух урн, либо извлечь хотя бы один, то вероятность извлечения по меньшей мере одного шара равна 1–8∕100, или 92∕100.