Учение логики о доказательстве и опровержении

Например, многие доказательства предложений, разработанные античными геометрами, оказались впоследствии недостаточно строгими. Особенно интересно то, что больше всего неточностей оказалось в доказательствах самых первых, элементарнейших предложений. Факт этот легко объясняется. Дело в том, что при доказательстве первых предложений античные геометры в ряде случаев полагались на наглядное представление (или, как иногда называют наглядное представление, на «интуицию»). Так, уже при доказательстве первого предложения первой книги «Начал» (о построении равностороннего треугольника на данной ограниченной прямой) Евклид прибегает для доказательства к построению двух пересекающихся окружностей. Однако, вместо того чтобы строго доказать возможность этой пересекаемости, он просто предполагает эту возможность, опираясь при этом на наглядное представление и не допуская, что оно может быть ошибочным. Пример этот у Евклида — не исключение. Согласно замечанию советского комментатора «Начал» Евклида профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского, античные геометрические доказательства имеют настолько явный «полуинтуитивный характер», что из всех составных частей, на которые расчленяется античное геометрическое доказательство, «только один член относится к логической операции, все другие относятся к словесной форме или к чертежу»[11].

Неудивительно поэтому, что в новое время, когда было выяснено, что не всякое наглядное представление безусловно истинно, для теорем, которые доказывались в античной геометрии ссылками на очевидность или наглядность, пришлось разработать более строгие и точные способы доказательства.

Но какой бы ни была степень точности и строгости доказательства, первым условием возможной его безупречности является истинность доказываемого тезиса, т. е. адекватное отражение в нём действительности.

И точно так же для безупречности опровержения первым необходимым условием является действительная ложность опровергаемого положения, его действительное несоответствие фактам. Если опровергаемое положение ложно, то раньше или позже способ его опровержения может быть найден и будет найден. Но если положение, которое пытаются опровергнуть, само по себе истинно, то никакие попытки и ухищрения, какие делаются для его опровержения, не могут привести к цели, и опровергаемое положение останется неопровергнутым.

Убедительным подтверждением сказанного может быть позорное крушение бесчисленных попыток, которые делались и делаются буржуазными социологами и философами для опровержения марксизма. О тщетности этих попыток превосходно говорит в работе «Аграрный вопрос и «критики Маркса»» В. И. Ленин: «Вот уже много лет ученые и ученейшие люди Европы важно заявляют (а газетчики и журналисты повторяют и пересказывают), что марксизм уже сбит с позиции «критикой»,— и тем не менее каждый новый критик опять сначала начинает трудиться над обстреливанием этой якобы уже разрушенной позиции»[12].

2. Основания доказательства (аргументы)

Доказательство осуществлено всюду там, где показывается, что истинность (или ложность) некоторого тезиса необходимо следует из истинности (или ложности) некоторых положений, уже ранее доказанных или признанных истинными, а также из выясненного содержания основных для данной науки понятий.

Все положения, на которые опирается доказательство и из которых — при условии их принятия или признания истинными — необходимо следует истинность доказываемого тезиса, называются основаниями, или аргументами доказательства. Так, при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов плоского треугольника основаниями доказательства будет, во-первых, ранее установленное содержание таких понятий геометрии, как «плоский треугольник», «внутренний угол», «смежные углы», «параллельность линий», «внутренние накрест лежащие углы», «соответственные углы». Во-вторых, основаниями доказательства данной теоремы будут некоторые ранее принятые в качестве истинных или ранее доказанные положения геометрии Евклида. Таково принимаемое в геометрии Евклида без доказательства положение, что через точку вне данной прямой в одной с нею плоскости может быть проведена одна и только одна прямая, не пересекающаяся с данной прямой. Таково доказываемое в геометрии Евклида положение о том, что образованные пересечением прямой двух параллельных линий внутренние накрест лежащие и соответственные углы равны между собою. Таково же доказываемое в геометрии Евклида положение о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым.

Основаниями (аргументами) доказательства теоремы о сумме внутренних углов треугольника эти положения являются потому, что принятие и доказательство их в качестве истинных с необходимостью приводит к признанию истинным также и положения о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым.