У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

В 1938 и 1939 годах Гёдель вновь посетил Институт перспективных исследований, где, кроме проведения обычных курсов и лекций, постарался завязать необходимые контакты, чтобы подготовиться к вступлению в должность профессора этого института, если ему придется покинуть Австрию. После второй поездки в Вене на него напала группа ультраправых студентов, которых, как говорится в популярной истории, его супруга отогнала ударами зонтика.

Давление на Гёделя усиливалось, этот независимый интеллектуал раздражал нацистов, и в конце концов в октябре 1939 года он был включен в черный список. Это официально подчеркивало статус безработного, а при нацистском режиме безработные почти автоматически призывались в армию. Действительно, через некоторое время Гёдель получил приказ о призыве. Единственно возможным выходом для Курта и Адели стало бегство в США (как и для многих европейских ученых того времени, включая Альберта Эйнштейна и Джона фон Неймана).

Война между Германией, Францией и Англией к тому времени уже началась, так что Гёделю и его супруге пришлось ехать в США самым долгим путем, через Россию, Японию и Тихий океан. Гёдель прибыл в Институт перспективных исследований в 1940 году и благодаря заранее установленным контактам сразу вступил в должность приглашенного профессора. В 1946 году он вошел в состав ученых института на постоянной основе, а в 1948-м — получил американское гражданство.

Ученый так и не вернулся ни в Австрию, ни в Чехословакию. Годы спустя Венский университет предлагал ему должности и почести, но он не принял их.

Г итлер приветствует жителей Вены в связи с присоединением Австрии к нацистской Германии, март 1938 года.

Адель Поркерт и Курт Гёдель в день свадьбы, сентябрь 1938 года.

Немецкий математик Давид Гильберт в 1930-е годы. Созданная им программа стремилась поставить математику на прочные логические основания.

СЕМАНТИЧЕСКИ ИЛИ СИНТАКСИЧЕСКИ

Прежде чем последовать за Гёделем в Принстон, вернемся в сентябрь 1930 года и восстановим образ юноши, который скромно поднял руку на конгрессе в Кёнигсберге, чтобы провозгласить первую теорему о неполноте.

Естественный вопрос, который мы еще не формулировали, состоит в следующем: после десяти лет разработки своей программы, размышлений и трудов сдался ли Гильберт без борьбы? Не пытался ли он оспорить рассуждения Гёделя? Правда состоит в том, что доказательство Гёделя было принято мгновенно и единодушно всеми, включая Гильберта, поскольку Гёдель не только очень хорошо продумал доказательство, но и был очень осторожен в способе его представления.

Как мы уже сказали, в программе Гильберта принимались только те доказательства, которые можно проверить алгоритмически, и к сентябрю 1930 года это ограничение принимали все математики, включая интуиционистов, которые, по словам Аренда Гейтинга, "примут с распростертыми объятиями" бесконечность, если только доказательства будут соответствовать этому критерию.

И так же, как Гильберт в свое время внес предложение с расчетом на то, чтобы убедить интуиционистов, Гёдель изложил доказательство первой теоремы о неполноте так, чтобы было очевидно, что ее правильность можно проверить алгоритмически и что она удовлетворяет условиям программы Гильберта. Даже Гильберт не смог выразить сомнений по этому поводу.

Как хорошо известно, прогресс математики в отношении каждый раз все большей точности привел к [...] тому, что рассуждения можно осуществить на основе небольших механических правил.

Курт Гёдель, введение к "О формально неразрешимых предложениях... " (1931)

Как Гёдель сделал очевидным, что доказательство его теоремы проверяется компьютером? Он прибегнул к "семантикосинтаксическому дуализму".

В математической логике понятие, связанное с последовательностью символов, считается синтаксическим, если оно зависит только от символов, образующих эту последовательность, при этом неважно его значение, если оно вообще существует.

Например, если мы утверждаем, что последовательность букв Кипа mbwa nyekundu образована 18 символами (считая пробелы), мы говорим о синтаксическом понятии. Действительно, нашу правоту легко проверить с помощью простого подсчета символов, и нас не интересует, есть ли в этом ряду букв какой- то смысл. Другие примеры синтаксических понятий: "первая буква — /С" или "здесь нет буквы А".