Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Без знаний математики невозможно получить от нее истинное удовольствие. Только приложив умственные и волевые усилия, можно в полной мере осознать всю ее красоту. И тогда пейзаж, который открывается перед нами, сравним с красивейшей сонатой, с торжеством природы, с высшим из наслаждений. Мечта автора — чтобы по прочтении этой книги читатель открыл для себя новые уголки математики неземной красоты и в полной мере насладился ими. Понять какие-то темы будет совсем нетрудно, другие — чуть сложнее. Автор ставил перед собой цель изложить материал доступным образом, оставив наиболее затруднительные моменты для дополнительного изучения. Автор ставил задачу рассказать эту историю так, чтобы читатель заново пережил 380 с лишним лет, которые понадобились для окончательного доказательства великой теоремы Ферма.

Глава 1 Луч света в математическом замке

В 1997 году в научно-популярной программе NOVA Эндрю Уайлса спросили, как бы он описал семь лет настойчивых, граничащих с одержимостью поисков, которые завершились доказательством последней теоремы Ферма — самой знаменитой теоремы всех времен. Уайлс ответил:

«Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Темно. Кромешная тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаёте, где что стоит. Наконец месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где вы. Затем вы переходите в следующую комнату и проводите там шесть месяцев во мраке»[1].

Этот «мрак», о котором говорит британский математик, не смогли преодолеть множество математиков в течение трех с половиной столетий. Теорема, сформулированная в 1630-е годы (точное время неизвестно) французом Пьером де Ферма (1601–1663), звучит так:

«Для любого натурального числа n > 2 уравнение

хⁿ + уⁿ = zⁿ

не имеет натуральных решений х, у и z».

Об этой теореме стало широко известно лишь тогда, когда сын Ферма, Саму эль, обнаружил ее на полях латинского издания «Арифметики» Диофанта. Это не столь удивительно, как может показаться, потому что Ферма посвящал большую часть времени профессиональной деятельности — адвокатуре и занимался наукой лишь в часы отдыха.

Помимо формулировки самой теоремы (которая несколько отличается от упомянутой выше), рядом приводилась фраза, которая стала одной из самых известных в истории математики: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Многие хотели бы оказаться рядом с Ферма, чтобы предложить ему в тот момент чистый лист бумаги! Несмотря на все усилия Самуэля Ферма, ему не удалось найти в рукописях отца ничего, что как-то касалось бы предполагаемого доказательства, и потомкам пришлось довольствоваться лишь доказательством для n = 4, которое опубликовал сам Ферма. «Поистине чудесное доказательство» гениального французского математика оказалось утерянным навсегда.

Страница 85 «Арифметики» Диофанта в переводе Баше де Мезириака. На этой странице описывается задача 8 книги II. Читатель может оценить ширину полей, на которых не поместилось «чудесное доказательство» Ферма.

В этот момент трудно удержаться от избитой фразы: «Порой жизнь оказывается удивительнее фантастики».

Если бы Ферма знал, сколько миллионов часов потратят исследователи, сколько сотен тысяч страниц в научных журналах будет посвящено попыткам найти то самое доказательство! Если бы он знал, что спустя более чем 300 лет его простая теорема все еще будет оставаться недоказанной, самой удивительной и самой комментируемой! И что теорема, для которой «поля книги оказались слишком узки», своей элегантностью привлечет внимание бесчисленного множества математиков, но никому не откроет своей тайны. Такие выдающиеся умы, как Карл Фридрих Гаусс, Леонард Эйлер, Адриен Мари Лежандр, Эрнст Куммер и многие другие, приступали к решению с определенной уверенностью в своих силах, но им удавалось найти доказательства только для частных случаев, n = 3, 5 или 7. Кроме этого, становилось известно все больше случаев этой теоремы, открывались неизмеримые глубины теории чисел, и в первые десятилетия прошлого века казалось, что следует отказаться от всяких попыток и перевести теорему в разряд исторических казусов. Несмотря на всю ее сложность, а может, именно по этой причине великая теорема Ферма вышла за рамки узких разделов математики.

Как бы то ни было, те немногие, кого все еще продолжала волновать многовековая загадка Ферма, продолжали распутывать сложные взаимосвязи, которые, казалось, все множились и множились, и столь желанное доказательство оставалось далеким и неясным. Все они в попытках покорения этого своеобразного математического Эвереста не раз отправляли в корзину исписанные страницы, содержавшие очередную серьезную ошибку.