Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Но как в этом случае следует понимать значение «возможно»? Если Р возможно, то нужно уходить в отставку или оставаться? Что отделяет одно решение от другого? Если мы хотим, чтобы наша логика позволяла принимать подобные решения, необходим более высокий уровень точности.

И здесь на сцену выходит профессор Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде, который в 1965 году предположил, что значение принадлежности элемента множеству или значение истинности высказывания может описываться любым числом, лежащим на интервале от 0 до 1. Таким образом, игроки в Scattergories могут установить, что правильными ответами будут, например, только те, что принадлежат рассматриваемому семантическому полю более чем на 0,6, а журналист может решить уйти в отставку, если степень его несогласия с новой редакционной политикой будет превышать, допустим, 0,45. Заде обозначил новые множества английским словом fuzzy, которое можно перевести как «нечеткое, не имеющее четко обозначенных пределов». Следовательно, на вопрос о принадлежности элемента нечеткому множеству существует бесконечно много ответов.

Создатель нечеткой логики Лотфи Заде

_{(источник: Вольфганг Хюнше).}

Читатель, возможно, поддастся искушению интерпретировать нечеткие множества в терминах теории вероятностей. Возможно, в этом случае объяснение станет более понятным, но говорить, что степень принадлежности элемента к множеству является вероятностью того, что он принадлежит к этому множеству, некорректно — это идет вразрез с духом нечеткой логики, предложенной Заде. Посмотрим, что происходит, когда мы бросаем в воздух монету. Мыс детства знаем, что вероятность выпадания решки равна 50 %, и это означает, что если мы подбросим монету много раз, например 10 тысяч, то примерно в половине случаев выпадет орел, в половине — решка. Но результат каждого броска будет единственным: орел или решка. Вероятность, по меньшей мере в упрощенной трактовке, отражает ограниченность наших знаний о ситуации: если бы нам с абсолютной точностью была известна сила, с которой мы подбросили монету, если бы мы могли уподобиться богу Эолу и повелевать ветрами, то смогли бы с точностью предсказать результат броска монеты. Это означает, что глубинный принцип, лежащий в основе теории вероятностей в ее простейшем понимании, совпадает с принципом классической логики, в то время как в мире нечетких множеств при броске монеты может выпасть решка, скорее решка, чем орел, скорее орел, чем решка, орел или любое из промежуточных значений, выраженных с бесконечной точностью.

В отличие от классических множеств, граница которых подобна отвесному утесу, множества, изучаемые в нечеткой логике, определяются функцией принадлежности, которая воспроизводит форму пологого склона. Рассмотрим в качестве примера множество высоких людей. Если считать, что люди ниже 1,60 м низкие, выше 1,90 м — высокие, то функция принадлежности этого множества примет следующий вид:

Функция принадлежности нечеткого множества высоких людей. График функции имеет форму склона.

Выполнив некоторые вычисления, можно доказать, что степень принадлежности тех, чей рост менее 1,60 м, к множеству высоких людей равна 0. Если рост человека больше или равен 1,90 м, он будет абсолютно точно считаться высоким, а если его рост находится на интервале между этими двумя значениями, то для определения степени принадлежности к множеству нужно умножить его рост в метрах на 10, вычесть 16, а затем разделить полученное число на 3. Если известно, что степень высоты человека равна 0,3, как, например, для автора этой книги, то этого достаточно, чтобы определить его рост.

В других случаях график функции принадлежности может иметь форму треугольника или трапеции. Если считать, например, что «слишком холодно» — это любая температура ниже +10 °C, «слишком жарко» — температура выше +30 °C, а идеальная температура находится на интервале между +18 и +22 *С, то график функции принадлежности ко множеству благоприятных температур будет напоминать изображенный на рисунке ниже. Если мы сравним этот график с климатограммами для разных городов, то сможем выбрать тот, где будет комфортнее всего жить, или, по крайней мере, исключим совсем уж неподходящие варианты.

Функция принадлежности нечеткого множества благоприятных температур. График функции имеет форму трапеции.