Том 1. Механика, излучение и теплота

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стенку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятностное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходящее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что данная молекула движется с какой-то скоростью между v и v+Δv, будет равна p(v)Δv, где р(v) — плотность вероятности, которая зависит от скорости v. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(v)[8]. Примерный вид функции p(v) показан на фиг. 6.9.

Фиг. 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.

Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов за то, что она окажется где-то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения <v>.

О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N≈10²²). Поскольку р(v)Δv — вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале Δv, то, по определению, ожидаемое число молекул <ΔN> со скоростью, находящейся в этом же интервале, будет равно

(6.21)

Поэтому Np(v) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями скоростей v₁ и v₂ [заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Np(v)] представляет ожидаемое число молекул со скоростями между v₁ и v₂. Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1/√N), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между v₁ и v₂ равно площади заштрихованного участка». Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.

§ 5. Принцип неопределенности

Понятия вероятности оказались очень полезны при описании поведения газа, состоящего из огромного количества молекул. Немыслимо же в самом деле пытаться определить положение и скорость каждой из 10²² молекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероятность существенно необходима для описания различных атомных процессов. Согласно квантовой механике, этой математической теории малых частичек, при определении положения частички и ее скорости всегда существует некоторая неопределенность. В лучшем случае мы можем только сказать, что существует какая-то вероятность того, что частица находится вблизи точки х.

Для описания местоположения частицы можно ввести плотность вероятности p₁(x), так что p₁(x)Δx будет вероятностью того, что частица находится где-то между х и х+Δx. Если положение частицы установлено достаточно хорошо, то примерный вид функции p₁(x) может иллюстрировать график, приведенный на фиг. 6.10, а.

Фиг. 6.10. Плотности вероятности координаты, (а) и скорости (b) частицы.

Точно такое же положение и со скоростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью р₂(v)Δv частица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале между v и v+Δv.

Один из основных результатов квантовой механики состоит в том, что эти две плотности р₁(х) и р₂(v) не могут быть выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полуширины» кривых p₁(x) и р₂(v) и обозначим их соответственно [Δx] и [Δv] (см. фиг. 6.10), то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширин было не меньше величины h/m, где m — масса частицы, а h — некоторая фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной Планка. Это соотношение записывается следующим образом:

(6.22)

и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Чтобы это соотношение выполнялось, частица должна себя вести очень курьезно. Вы видите, что правая часть соотношения (6.22) постоянна, а это означает, что если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком-то определенном месте, то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и с какой скоростью. Точно также если мы попытаемся заставить частицу двигаться очень медленно или с какой-то определенной скоростью, то она будет «расплываться», и мы не сможем точно указать, где она находится.