Тайны пространства и времени

Просто? А почему бы и нет? Считать-то от одного и так далее мы ведь умеем. Но тут нас подстерегает совершенно непредвиденная неожиданность. Одна из тех, с которыми мы встречаемся чуть ли не на каждом шагу, когда имеем дело с бесконечностями. Например, «приложим» к бесконечному множеству всех четных чисел наш эталон. Двойку – самое малое четное число, пронумеруем единицей, четверку – двойкой, шестерку – тройкой, и так далее, и так далее… И с удивлением обнаружим, что номеров не только вполне хватает для обозначения всех четных чисел – этого-то нужно было ожидать, – но остаются и свободные номера.

Выходит, что обе бесконечности – счетная и бесконечность всех четных чисел – одинаковы? Как же так? Ведь из каждых двух следующих друг за другом чисел натурального ряда четным является только одно. Значит, таких чисел должно быть вдвое меньше, чем всех целых! Иными словами, множество всех четных чисел составляет лишь часть множества всех целых. А соответствующие им бесконечности – одинаковы, имеют, как говорят математики, одинаковую мощность.

Но ведь так не бывает, не может быть! Множество любых предметов не может быть равно своей собственной части! Да, действительно, не может, пока мы имеем дело с конечными образованиями. Но у бесконечностей свои законы – причудливые, разумеется, с обыденной точки зрения, – но тем не менее вполне строгие. Между прочим, на то, что бесконечные множества могут быть равны собственным подмножествам, обратил внимание еще Галилей… К немалому своему удивлению!

Однако всякое открытие, как мы уже знаем, неизбежно влечет за собой новые вопросы. Не составляет исключения и то, о котором идет речь. Возникает, например, такой вопрос: существуют ли бесконечные множества более «мощные», чем счетное? Вот отрезок прямой линии. Сколько на нем помещается точек? Ясно, что их бесчисленное множество. Но сколько именно?

Прибегнем еще раз к помощи нашего эталона – счетного множества. И в конце концов обнаружим, что на этот раз чисел в натуральном ряду слишком мало для того, чтобы пронумеровать все точки выбранного нами отрезка. В математике на этот счет доказывается строгая теорема: сколько бы точек отрезка мы ни пронумеровали, всегда будут оставаться точки, для которых не хватит чисел натурального ряда. Таким образом, мы обнаружили бесконечность более высокого порядка, чем счетное множество – бесконечность, получившую название континуума. Но и континуум не предел. В принципе можно строить бесконечности сколь угодно высокого ранга.

Однако не будем углубляться дальше в необычный, хитроумный и парадоксальный мир математических бесконечностей. Главное – мы знаем: бесконечности бывают разные…

Вернемся к вопросу о геометрических свойствах Вселенной. Возможно, вы обратили внимание на то, что при обсуждении этой проблемы упоминается то возможная бесконечность мирового пространства, то его неограниченность. В «обычном» мире, для которого справедлива геометрия Евклида, та самая геометрия, которую мы изучаем в школе, эти понятия по сути дела равнозначны, обозначают одно и то же. Хотя некоторые различия все же есть. Строго говоря, бесконечность – это свойство количественное, «метрическое»: бесконечность длины, площади, объема. А неограниченность?..

«Что мы хотим выразить, говоря, что наше пространство бесконечно? – писал Эйнштейн, обладавший счастливым умением выражать самые отвлеченные идеи с помощью наглядных образов. – Ничего другого, как то, что мы можем прикладывать одно к другому равные тела, скажем, кубики в каком угодно числе, и при этом никогда не наполним пространство. Такое построение никогда не закончится. Всегда останется место, чтобы прибавить еще один кубик…»

Вот что такое бесконечное пространство. Что же касается неограниченности, – то это свойство структурное, как говорят математики, топологическое. Это обстоятельство особо подчеркивал в свое время выдающийся математик Бернгард Риман.

«При рассмотрении пространственных построений в направлении бесконечно большого, – отмечал он, – следует различать свойства неограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство».

В евклидовом пространстве любая прямая, продолженная неограниченно, является бесконечной. Но ведь мы живем в искривленном мире… В таком мире бесконечность и неограниченность различаются еще более существенным образом. Вплоть, до того – еще один неожиданный парадокс, – что неограниченное пространство может быть как бесконечным, то есть не имеющим границы, «края», так и конечным!

Чтобы несколько смягчить этот очередной удар по здравому смыслу, воспользуемся аналогией. Аналогии в науке не являются строгими доказательствами, но они позволяют лучше разобраться в сущности тех или иных сложных явлений.