Тайны магических цифр

Как вы хорошо видите из рис. 5, в случае «б» имеется плоская фигура, что возвращает нас к пре­дыдущему случаю, когда качество задается плоско­стью, или dim=2. В случае «а» ситуация резко меня­ется, так как появляется новая размерность dim=3 (трехмерное пространство). Из точки А (вершина пи­рамиды) мы видим весь треугольник основания BCD, что в какой-то степени делает ситуацию схожей со случаем двух точек на плоскости, которые определя­ли прямую АВ. Именно поэтому случай с четырьмя цифрами также стабилен в своем проявлении качества, как и при двух цифрах. Различие заключается только в том, что сила самого качества резко увели­чивается до объема пирамиды V.

Пять цифр. Так как в предыдущем случае мы уже затронули максимальную для человека размер­ность dim=3 (трехмерное пространство), то в случае пяти точек нам будет очень сложно найти качествен­но новое решение, однако мы постараемся это сде­лать. Известно, что в геометрии существует теорема, утверждающая, что любые 5 (пять) произвольно взя­тых на плоскости точек определяют единственную кривую второго порядка (1 — окружность, 2 — эл­липс, 3 — параболу, 4 — гиперболу, все случаи вы­рожденной кривой мы рассматривать не будем). За­метим, что наличие именно пяти точек позволяет нам использовать данную теорему (рис. 6).

Для иллюстрации этой теоремы вы можете взять любые пять точек на плоскости и, немного подумав, достаточно легко сможете определить, какая именно из указанных кривых проходит через взятые вами точки (чтобы не попасть в случае вырожденной кри­вой второго порядка, не ставьте три и более точек на одну прямую, так как в подобном случае линия должна будет выродиться (преобразоваться) в точку, пару пересекающихся, параллельных или совпадаю­щих прямых (одна прямая).

Чтобы у вас не появилось сомнений в совершенно новом изменении качеств при переходе к пяти циф­рам, попытаемся понять, каким образом появились сами названные нами кривые. Дело в том, что для их получения нам придется выйти в трехмерное прост­ранство и рассмотреть пересечение конической по­верхности (имеющей две собственные размерности) с плоскостью, которая также двухмерна. Из сказанно­го можно сделать вывод, что для получения кривых второго порядка нам приходится рассматривать мо­дель с четырьмя измерениями. В переносе на общее трехмерное пространство они дадут пересечение в ви­де кривой второго порядка. Интересно, что, занима­ясь когда-то дифференциальной геометрией, мне при­шлось исследовать взаимное расположение двух при­вычных нам плоскостей, но в четырехмерном прост­ранстве. Оказалось, что в пересечении этих плоско­стей образуются все разновидности кривых второго порядка, так что наша интерпретация через пересече­ние конической поверхности с плоскостью является моделью четырехмерного пространства, где рассмат­риваются две плоскости. Рассмотрим рис. 7.

Коническая поверхность имеет размерность dim=2 и плоскость dim=2. Мы видим, что при враще­нии прямой АВ вокруг оси АС получим коническую поверхность, расположенную в трехмерном простран­стве. В случае 6 (а—г) мы видим пересечения кониче­ской поверхности с плоскостью, которая имеет раз­личное положение относительно конусов, этот случай соответствует пяти цифрам. Из рисунков понятно, что для получения кривой второго порядка прихо­дится использовать сложные построения, а это требу­ет максимальных усилий со стороны человека, все его силы концентрируются на проявлении данной ха­рактеристики, именно поэтому остальные параметры подавляются.

Шесть и более цифр. Это случай перегрузки каче­ства. Для его интерпретации необходимо помнить, что пять цифр должны быть «отброшены», чтобы мы могли понять особенности самого качества. Данный случай можно сравнить с айсбергом, который на по­верхности имеет незначительную высоту, тогда как основная масса спрятана под водой (рис. 8).