Тайны чисел: Математическая одиссея

Боб – администратор веб-сайта, продающего футболки в Англии. Элис живет в Сиднее, и она намеревается купить футболку на сайте и при этом послать данные своей кредитной карты так, чтобы никто другой не смог увидеть их. Боб размещает специальное кодовое число на своем веб-сайте, скажем 126 619. Это кодовое число чем-то напоминает ключ, который запирает сообщение Элис и делает его защищенным. Поэтому, когда Элис посещает веб-сайт, она получает копию кодирующего ключа, опубликованного Бобом, и использует его, чтобы «запереть» свою кредитную карту.

В реальности компьютер Элис совершает специальное математическое вычисление, использующее этот ключ, 126 619, и номер ее кредитной карты. Теперь этот номер зашифрован и может быть послан открытым образом через интернет на веб-сайт Боба. (Детали упомянутого вычисления приведены в следующем разделе.) Но постойте, разве при этом не возникнет проблема? Предположим, я хакер. Тогда что помешает мне посетить веб-сайт Боба, получить копию кодирующего ключа и расшифровать сообщение? Однако кодирование в интернете устроено довольно интригующе: вам нужен другой ключ, чтобы отпереть дверь, а этот отпирающий ключ хранится в большом секрете в офисе Боба.

Декодирующий ключ представляет собой два простых числа, которые при умножении дают то самое число 126 619. В действительности Боб выбирает два простых числа 127 и 997, чтобы изготовить свой кодирующий ключ. Именно с помощью этих двух простых чисел Боб дешифрует то математическое вычисление, которое совершил компьютер Элис, чтобы закодировать номер ее кредитной карты. Боб поместил кодирующий ключ 126 619 на своем веб-сайте, но хранит в тайне декодирующие простые числа 127 и 997.

Если я смогу найти два простых числа, которые при умножении дают 126 619, я сумею получить доступ к номерам кредитных карт, посылаемым на веб-сайт Боба. Но 126 619 – достаточно небольшое число, чтобы я мог делить его на одно число за другим. Так, потратив не слишком много времени, я нашел бы два простых числа 127 и 997. Однако вы не сможете воспользоваться этим приемом на настоящих веб-сайтах, потому что их ключи основаны на значительно бо́льших числах – они настолько велики, что найти пару простых чисел методом проб и ошибок почти невозможно. Математики, придумавшие эти коды, были настолько уверены в их надежности, что на протяжении многих лет предлагали приз $ 200 000 тому, кто сможет найти два простых множителя следующего числа из 617 цифр:

25 195 908 475 657 893 494 027 183 240 048 398 571 429

282 126 204 032 027 777 137 836 043 662 020 707 595 556

264 018 525 880 784 406 918 290 641 249 515 082 189 298

559 149 176 184 502 808 489 120 072 844 992 687 392 807

287 776 735 971 418 347 270 261 896 375 014 971 824 691

165 077 613 379 859 095 700 097 330 459 748 808 428 401

797 429 100 642 458 691 817 195 118 746 121 515 172 654

632 282 216 869 987 549 182 422 433 637 259 085 141 865

462 043 576 798 423 387 184 774 447 920 739 934 236 584

823 824 281 198 163 815 010 674 810 451 660 377 306 056

201 619 676 256 133 844 143 603 833 904 414 952 634 432

190 114 657 544 454 178 424 020 924 616 515 723 350 778

707 749 817 125 772 467 962 926 386 356 373 289 912 154

831 438 167 899 885 040 445 364 023 527 381 951 378 636

564 391 212 010 397 122 822 120 720 357.

Если вы попытаетесь взломать это число из 617 цифр, поочередно пробуя одно простое число за другим, вы переберете больше чисел, чем имеется атомов во Вселенной, до того, как доберетесь до множителей. Неудивительно, что никто не подал заявку на приз, и в 2007 г. данное предложение было снято.