Тайная жизнь чисел

Фрагмент «Начал математики», в котором приводится строгое доказательство равенства 1 + 1 = 2. Сначала, как иронично указано в тексте (здесь явно слышится шутливый тон Рассела), нужно определить операцию сложения.

Небольшие ошибки

Огюстен Луи Коши (1789–1857) как-то раз получил по почте объемный труд по теории чисел, в котором доказывалось, что диофантово уравнение

x³ + y³ + z³ = t³

не имеет целых решений. Коши, который отличался саркастичным и довольно насмешливым характером, отправил автору трактата письмо, состоявшее из одной строки:

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

Нечто подобное произошло с прекрасным французским математиком Альфонсом де Полиньяком (1817–1890), известным сегодня как автор гипотезы о простых числах, представляющей собой обобщение гипотезы Гольдбаха. Полиньяк провозгласил:

Любое нечетное число можно представить как сумму степени двойки и простого числа.

Гипотеза не только впечатляла, но и выглядела вполне правдоподобно. Рассмотрим любое число, например 63:

63 = 2⁵ + 31.

Так как 31 простое, то, похоже, гипотеза Полиньяка верна. Прибавим еще один факт: Полиньяк дал понять, что проверил свою гипотезу для всех чисел вплоть до 3000000. Однако, видимо, в его вычисления вкралась ошибка: уже для числа 127 гипотеза не выполняется. Перечислим шесть первых степеней двойки и убедимся в том, что это и в самом деле так:

127 = 2¹ + 125 = 2¹ + 5·25;

127 = 2² + 123 = 2² + 3·41;

127 = 2³ + 119 = 2³ + 7·17;

127 = 2⁴ + 111 = 2⁴ + 3·37;

127 = 2⁵ + 95 = 2⁵ + 5·19;

127 = 2⁶ + 63 = 2⁶ + 3·21.

Однако следующей степенью двойки будет уже 2⁸ = 128 — число, большее 127. Таким образом, несмотря на заявления Полиньяка, его гипотеза не выполняется для числа 127.

Удивительные расчеты

Следующая история произошла на собрании Американского математического общества в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861–1926) должен был выступить с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители».

Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошел к доске и записал на ней 2⁶⁷—1 — число Мерсенна М₆₇, которое считалось простым. Далее Коул вычислил значение 267 и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание, а Коул записал на доске еще два числа и вычислил их произведение: 193707721 x 761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось, было равно искомому числу М₆₇. Коул развернулся и проследовал на свое место.

Его доклад длился целый час, и за это время ученый не произнес ни слова. Однако аудитория все равно разразилась аплодисментами.

Следует отметить, что в 1903 году еще не существовало ни калькуляторов, ни алгоритмов, которые используются для работы с числами Мерсенна сегодня. По словам Коула, все необходимые расчеты он провел «за три года по воскресеньям».

В честь этого математического подвига Американское математическое общество учредило премию Коула, которая и сегодня остается очень престижной. За поиском простых чисел Мерсенна можно следить в интернете на сайте проекта Great Internet Mersenne Prime Search (http://www.mersenne.org/default.php). Самым большим простым числом, известным на февраль 2013 года, было М_57885161 — действительно большое число, состоящее из 17 425 170 цифр. И еще: М_5788М61 начинается с цифры 5. Больше об этом числе — ни слова.

Очень большое число

В математике можно говорить о сколь угодно больших числах — конечных, но очень больших, огромных, колоссальных. В 1938 году девятилетний племянник известного математика Эдварда Казнера (1878–1955) придумал число гугол, которое казалось ему невообразимо большим, практически бесконечным. Милтон Сиротта — так звали племянника — определил гугол как единицу, за которой следует 100 нулей.

В математической нотации это число записывается так:

1 гугол = 10¹⁰⁰.

Гугол кажется не слишком впечатляющим — куда больше впечатляет гуголплекс, определяемый как 1, за которым следует гугол нулей: