Солнечная система (Астрономия и астрофизика)

Рассмотрим более сложную систему: смена времен года. Скажем, 1 июля в одном и том же месте в разные годы погода бывает разной, и можно говорить лишь о приблизительной периодичности. Но точные науки не терпят приблизительных терминов. Изобретено понятие квазипериодичности для явления, раскладывающегося на сумму периодических (создателем теории квазипериодических функций был рижский профессор П.Г. Боль).

Невозмущенное движение планет квазипериодично. В сумму скольких периодических процессов оно раскладывается? Вопрос кажется тривиальным — конечно, n, если через n обозначить число планет. Это так, но нельзя ли уменьшить число процессов до n₀n? Оказывается, иногда можно. Рассмотрим два процесса с периодами Т₁ и Т₂. Пусть T₁/T₂=р₁/р₂, где р₁, р₂ — целые взаимно-простые числа. Тогда оба процесса имеют общий период Т=р₂Т₁=р₁Т₂. Например, если две планеты имеют периоды обращения Т₁ и T₂, то по прошествии времени Т первая планета совершит р₂ оборотов, вторая — р₁ оборотов и обе окажутся на прежнем месте. В таком случае говорят о резонансе, точнее, о резонансе р₁:p₂ в движении планет. Если же таких целых чисел p₁, р₂ не существует, то говорят об отсутствии резонанса в системе.

Итак, при отсутствии резонанса в системе из n планет имеется n независимых периодов, в случае резонанса число последних n₀ меньше n.

Маленькое пояснение. Сформулированное определение резонанса прекрасно с математической точки зрения, но не годится в естественных науках. Ведь речь идет о рациональности или иррациональности числа =Т₁/Т₂. Только в модельных задачах периоды известны точно и определение имеет смысл. В реальности Т₁, Т₂ измеряются с некоторой погрешностью. Как бы мала она ни была, различить рациональный и иррациональный случай невозможно в принципе. На практике важно, можно ли представить число в виде отношения двух небольших целых чисел р₁:p₂ плюс малая поправка, или нельзя. Если можно, то по прошествии небольшого времени Т система практически вернется в прежнее положение. Например, пусть =2/3+10^—4. По истечении времени Т=ЗТ₁ первый процесс вернется в прежнее положение, а фаза второго сместится всего на тысячную долю окружности, т.е. на треть градуса. Резонанс налицо. Если нельзя, то система вернется в близкое положение очень нескоро. Пусть, например, =1597/987 (подходящая дробь для «золотого» числа (1+5)/2). Система вернется в прежнее положение только через огромное время 987Т₁=1597Т₂. Резонанса нет.

Оказывается, наша Солнечная система устроена так, что массивные тела (восемь больших планет от Меркурия до Нептуна) не резонируют друг с другом. Если перевести колебания планет (а по каждой из координатных осей они колеблются!) в звуковые, то мы услышим не «музыку сфер», а что-то вроде какофонии в оркестре к концу антракта, когда каждый музыкант независимо от других настраивает свой инструмент. Напротив, среди малых тел много резонирующих с большими и друг с другом. Таковы десятки спутников, тысячи малых планет и даже Плутон (напомню, что его масса в шесть раз меньше лунной). Пока он делает два оборота вокруг Солнца, Нептун успевает обежать его ровно три раза.

Примем теперь во внимание взаимное притяжение небесных тел. Масса самой большой планеты, Юпитера, в тысячу с небольшим раз меньше Солнечной. Примерно во столько же раз ускорение каждой планеты, вызванное притяжением других планет, меньше ускорения к Солнцу. Дифференциальное уравнение движения можно записать в форме

w=F₀+µF₁      (10)

Здесь индексом 0 отмечено основное ускорение, индексом 1 — вызванное притяжением планет друг к другу возмущающее ускорение; малый параметр µ~0,001. Уравнений типа (10) надо написать несколько, по числу планет. Движение при µ=0 нам известно. При истинном малом значении µ траектория чуть-чуть отклоняется от невозмущенной. Допустимо считать, что орбита по-прежнему является эллипсом, но его элементы (большая полуось, эксцентриситет и т.д.) медленно меняются со временем со скоростью порядка µ. Этот прием мы уже рассматривали на примере ИСЗ.

Фундаментальный вопрос: накапливаются ли возмущения со временем или колеблются около некоторого среднего значения? В первом случае мы говорим о вековых возмущениях; за время T₀/µ орбиты менялись бы до неузнаваемости. Здесь Т₀ — характерный период, 10 лет для Солнечной системы, примерно год Юпитера. Критическое время T₀/µ равно всего десяти тысячам лет, совсем немного в истории Земли. К нашему счастью, при отсутствии резонансов возмущения большой полуоси, эксцентриситета и наклона не накапливаются, эти важнейшие для жизни на Земле элементы лишь колеблются в узких пределах.