Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Если мы запишем число π, рассчитанное на компьютере на данный момент, цифрами размером с эту книгу, то получившийся ряд цифр опишет 500 витков вокруг экватора Земли. Точно известно, что последовательность 0123456789 встречается в числе π начиная с 17387594880-го знака. Какой же наивной кажется убежденность известного голландского математика Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра (1881–1966), который считал, что искать эту последовательность в числе π бессмысленно, поскольку необходимое для этого число знаков никогда не будет вычислено.

В XXI веке мы наконец нашли неоспоримую пользу от вычисления числа π с такой точностью: для тестирования суперкомпьютеров используются сложные вычисления, результат которых должен быть заранее известен, и для этого идеально подходит расчет знаков числа Я.

Повторное изобретение колеса

Число π не появилось из пустоты, как это можно было бы предположить. Оно возникло как результат несложных наблюдений. Соотношение между длиной окружности L и ее диаметром d постоянно:

L/d = π.

Или, что то же самое,

L = π∙d = π2r = 2πr,

где r — радиус окружности, d = 2r.

Отношение длины окружности к ее диаметру постоянно. Это соотношение интуитивно понятно и становится очевидно после несложных наблюдений. С увеличением диаметра (диаметр равен удвоенному радиусу r) пропорционально возрастает длина окружности.

Чем больше диаметр колеса, тем больше (и пропорционально больше) расстояние, пройденное точкой колеса при полном обороте. Иными словами,

длина окружности/диаметр окружности = константа ~ 3,14.

Знак ~ читается как «приближенно равно». На протяжении большей части истории числа π ученые старались сделать это приближение как можно более точным, находя всё новые знаки справа от 3,14.

Математики использовали все свое умение, чтобы рассчитать число π с наиболее возможной точностью, добавляя десятичные с героическими усилиями.

ВЫПРЯМЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Выпрямление кривой означает измерение ее длины. В простейшей задаче о выпрямлении кривой речь идет об окружности.

При качении окружности длины р по прямой без скольжения окружность описывает один оборот, проходя расстояние, равное диаметру d, π раз. Этот процесс называется выпрямлением окружности. По результатам выпрямления окружности получим p/d = π.

* * *

Долгое время считалось, что когда-нибудь будет найдена последняя цифра числа π, но в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) доказал, что это невозможно. Не существует и никогда не будет найдено способа получить «точное» значение π, пользуясь только циркулем и линейкой. Далее в этой книге мы попытаемся объяснить, почему это так.

Сначала число π имело другое название. Хотя к этому символу обращались многие математики, в частности Уильям Отред (1574–1660), Исаак Барроу (1630–1677) и Дэвид Грегори (1659–1708), «официально» его утвердил Уильям Джонс (1675–1749) в 1706 году в работе Synopsis Palmariorum Matheseos, где он использовал букву π, первую букву греческого слова «περιφε'ρεια» — «окружность». Впоследствии великий Леонард Эйлер (1707–1783), который сначала оперировал символами «с» и «р», остановился на греческой букве π, после чего это обозначение начало медленно, но верно распространяться в научном мире. Однако в XX веке в Египте число «пи» маркировали арабской буквой ta по нескольким причинам, в том числе из-за нежелания пользоваться европейскими обозначениями.

Сегодня символ π используется в математике в основном для обозначения числа π, но он также выполняет и другие задачи. Так, π(x) обычно отмечают функцию, показывающую «количество простых чисел, не превосходящих х». Если говорить о менее серьезных вещах, то этой буквой также обозначают гептамино — фигуру, состоящую из семи квадратов, соединенных сторонами, как показано на рисунке:

Многие авторитетные ученые, в том числе и Эйнштейн, считали число π фундаментальным в описании Вселенной. В том или ином виде число π всегда будет всплывать в описании любого явления природы, связанного с окружностями, кругами или вращением, подобно тому как пробка всплывает на поверхность воды. Как и другие константы, π всегда будет сопровождать нас.