Революция в физике

Весьма существенно, что взаимную потенциальную энергию нельзя представить в виде суммы потенциальных энергий, приписываемых каждой материальной точке в отдельности. Каждая пара взаимодействующих материальных точек дает вклад в полную энергию. Следовательно, индивидуальность материальной точки выражена тем слабее, чем сильнее взаимодействие между ними. Наличие этой взаимной энергии характерно для систем взаимодействующих материальных точек и отличает их, например, от ансамбля невзаимодействующих материальных точек, находящихся в заданном внешнем поле.

Динамика систем материальных точек – основа динамики твердых тел, поскольку последние можно представить в виде системы материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными из-за сил взаимодействия, чрезвычайно быстро возрастающих при отклонении этих точек от своего положения равновесия. Тот факт, что взаимное расположение материальных точек в таких твердых телах остается неизменным, позволяет определить его положение в каждый момент времени заданием всего лишь шести параметров.

Такими параметрами могут служить, например, три координаты какой-либо произвольной точки тела и три угла, определяющих его ориентацию относительно некоторой системы координат.

Если мы имеем задачу о движении нескольких твердых тел, каким-либо образом связанных между собой, то число параметров, необходимых для описания такой системы, возрастает. Однако при написании уравнений движения всегда можно исходить из уравнений для системы материальных точек, предполагая при этом, что твердые тела представляют собой некоторую совокупность таких материальных точек.

Таким образом, предвосхищая развитие атомной физики, механика твердых тел строилась исходя из предположения о дискретности материи. Здесь следует сделать одно замечание. В обычных экспериментах мы имеем дело, как правило, с крупномасштабными телами, а не с материальными точками, и, в частности, большинство методов измерения пространства и времени, необходимых для изучения различных явлений, основано на использовании свойств твердых тел. Именно эти понятия пространства и времени, взятые из повседневной жизни и наблюдений над крупномасштабными телами, в частности твердыми, служат нам для определения законов движения материальных точек. Определив таким образом эти законы, мы снова возвращаемся к изучению механических свойств твердых тел, рассматривая их как совокупность материальных точек. Хотя такой путь и непротиворечив, однако предположение, что понятия пространства и времени, возникшие из наблюдений над твердыми телами, можно без изменений использовать при изучении процессов, происходящих с элементарными частицами, – весьма смелая гипотеза. Можно было бы предположить, что применение этих понятий к элементарным актам потребует их серьезной модификации. Единственное условие, которое при этом на самом деле должно соблюдаться, заключается в требовании, чтобы свойства элементарных частиц были таковы, что, переходя к системам из очень многих частиц, мы имели бы возможность получать уже известные нам свойства материальных тел (в частности, свойства твердых тел) и обычные определения пространства и времени. Правда, это замечание, важность которого недавно подчеркнул Ж.Л. Детуш, не является, по-видимому, серьезным возражением против метода, используемого в классической аналитической механике, поскольку материальную точку там можно было бы определить не как элементарную частицу, а как частицу материи, имеющую пренебрежимо малые размеры, но содержащую все же в себе чрезвычайно большое число элементарных частиц. Иное дело в атомной физике, когда, допуская существование элементарных частиц, пытаются применять к ним классические законы механики материальной точки или какие-либо Другие законы, предполагающие справедливость наших обычных понятий пространства и времени. Здесь это возражение становится серьезным.

4. Аналитическая механика и теория Якоби

Аналитическая механика, тесно связанная с именем великого Лагранжа, представляет собой совокупность методов, позволяющих быстро написать уравнения движения какой-либо системы, если известен набор параметров, знания которых достаточно для однозначного определения положения системы в каждый момент времени. Совершенно не собираясь подробно анализировать здесь методы аналитической механики, сделаем лишь несколько замечаний, касающихся двух хорошо известных систем уравнений: уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона. Отличие метода Лагранжа от метода Гамильтона заключается в том, что в методе Лагранжа энергия системы выражается через обобщенные скорости, т е. через производные по времени от параметров, определяющих положение системы, тогда как в методе Гамильтона энергия выражается как функция обобщенных импульсов.