Рассказы о математике с примерами на языках Python и C (СИ)

Для «разминки» рассмотрим несколько фокусов, имеющих отношение к числам. Никаких особых сложностей в них нет, но их знание поможет развеселить или удивить знакомых знанием математики.

Умножение в уме числа на 11

Рассмотрим простой пример: 26 * 11 = 286

Сделать это в уме просто, если взять сумму чисел и поместить в середину: 26 * 11 = 2 [2+6] 6

Аналогично 43 * 11 = 473, 71 * 11 = 781 и так далее.

Чуть длиннее расчет, если сумма чисел больше либо равна 10. Но и тогда все просто: в середину кладется младший разряд, а 1 уходит в старший разряд:

47 * 11 = [4] [4 + 7 = 11] [7] = [4 + 1] [1] [7] = 517

94 * 11 = [9] [9 + 4 = 13] [4] = [10] [3] [4] = 1034

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Подсчитать это тоже просто. Если число рассмотреть как пару NM, то первая часть результата — это число N, умноженное на (N + 1), вторая часть числа — всегда 25. 35² = [3 * 4] [25] = 12 25

Аналогично:

25² = [2 * 3] 25 = 625 85²= [8*9] 25 = 7225 и так далее.

Отгадывание результата

Попросим человека загадать любое число. Например 73. Затем чтобы еще больше запутать отгадывающего, попросим сделать следующие действия:

- удвоим число (146)

- прибавляем 12 (158)

- разделим на 2 (79)

- вычтем из результата исходное число (79 - 73 = 6)

В конце мы отгадываем, что результат — 6. Суть в том, что число 6 появляется независимо от того, какое число загадал человек.

Математически, это доказывается очень просто:

(2 * n + 12) / 2 - n = n + 6 - n = 6, независимо от значения n.

Отгадывание чисел

Есть другой фокус с отгадыванием чисел. Попросим человека загадать трехзначное число, числа в котором идут в порядке уменьшения (например 752). Попросим человека выполнить следующие действия:

- записать число в обратном порядке (257)

- вычесть его из исходного числа (752 - 257 = 495)

- к ответу добавить его же, только в обратном порядке (495 + 594)

Получится число 1089, которое «фокусник» и объявляет публике.

Математически это тоже несложно доказать.

- Любое число вида abc в десятичной системе счисления представляется так:

abc = 100 * a + 10 * b + c.

- Разность чисел abc - cba:

100 * a + 10 * b + c + 100 - 100 * c - 10 * b - a = 100 * a - 100 * c - (a - c) = 100 * (a - c) - (a - c)

- Т. к. по условию a - c 0, то результат можно записать в виде:

100 * (a - c) - (a - c) = 100 * (a - c) - 100 + 90 + 10 - (a - c) = 100 * (a - c - 1) + 10 * 9 + (10 - a + c)

Мы узнали разряды числа, получающегося в результате:

a₁ = a - c - 1, b₁ = 9, c₁ = 10 - a + c

- Добавляем число в обратном порядке:

a₁b₁c₁ + c₁b₁a₁ = 100 * (a - c - 1) + 10 * 9 + (10 - a + c) + 100* (10 - a + c) + 10 * 9 + a - c - 1

Если раскрыть все скобки и сократить лишнее, в остатке будет 1089.

3. Число Пи

Вобьем в стену гвоздь, привяжем к нему веревку с карандашом, начертим окружность. Как вычислить длину окружности? Сегодня ответ знает каждый школьник — с помощью числа Пи. Число Пи — несомненно, одна из основных констант мироздания, значение которой было известно еще в древности. Оно используется везде, от кройки и шитья до расчетов гармонических колебаний в физике и радиотехнике.

Сегодня достаточно нажать одну кнопку на калькуляторе, чтобы увидеть его значение: Pi = 3,1415926535… Однако, за этими цифрами скрывается многовековая история. Что такое число Пи? Это отношение длины окружности к ее диаметру. То что это константа, не зависящая от самой длины окружности, знали еще в древности. Но чему она равна? Есть ли у этого числа какая-то внутренняя структура, неизвестная закономерность? Узнать это хотели многие. Самый простой и очевидный способ — взять и измерить. Примерно так вероятно и поступали в древности, точность разумеется была невысокой. Еще в древнем Вавилоне значение числа Пи было известно как 25/8. Затем Архимед предложил первый математический метод вычисления числа Пи, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников. Это позволяло вычислять значение не «напрямую», с циркулем и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. И наконец в 3-м веке нашей эры китайский математик Лю Хуэй придумал первый итерационный алгоритм — алгоритм, в котором число вычисляется не одной формулой, а последовательностью шагов (итераций), где каждая последующая итерация увеличивает точность. С помощью своего метода Лю Хуэй получил Пи с точностью 5 знаков: = 3,1416. Дальнейшее увеличение точности заняло сотни лет. Математик из Ирана Джамшид ибн Мас‘уд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши в 15-м веке вычислил число Пи с точностью до 16 знаков, а в 17-м веке голландский математик Лудольф вычислил 32 знака числа Пи. В 19-м веке англичанин Вильям Шенкс, потратив 20 лет, вычислил Пи до 707 знака, однако он так и не узнал, что в 520-м знаке допустил ошибку и все последние годы вычислений оказались напрасны (в итерационных алгоритмах хоть одна ошибка делает все дальнейшие шаги бесполезными).