Андрей Николаевич является главой сильнейшей в мире научной школы по теории вероятностей и математической статистике. Его перу принадлежит около двухсот научных печатных работ (статьи, монографии, учебные пособия).
В 1941 году за труды по теории вероятностей, опубликованные в 1936 и 1938 годах, ученому присуждается Государственная премия первой степени.
За цикл работ по проблеме устойчивости гамильтоновских цепей академик А. Н. Колмогоров и его талантливый ученик профессор В. И. Арнольд удостоены Ленинской премии 1965 года. Авторы разработали совершенно новые математические методы позволяющие решать проблемы, считавшиеся ранее «недоступными». Как указывает профессор И. М. Гельфанд, новые методы оказались настолько плодотворными, что их удалось применить не только для исследования классических проблем (например, задача трех тел), но и целого ряда задач, значение которых осознано только сейчас (задача движения заряженных частиц в «магнитных ловушках»).
А. Н. Колмогоров является крупнейшим современным кибернетиком. Всему миру известны его работы по применению научного математического анализа к поэтическим произведениям художественной литературы. В области кибернетики им высказано много интересных мыслей, догадок и гипотез. В частности, ему принадлежит следующая весьма смелая мысль: «Принципиальная возможность создания полноценных живых существ, построенных на дискретных цифровых механизмах переработки информации и управления, не противоречит принципам материалистической диалектики».[107]
С 1931 года А. Н. Колмогоров — профессор Московского университета. В 1939 году избран действительным членом Академии наук СССР. Он член Польской Академии наук, член-корреспондент Румынской Академии наук, Индийского и Калькуттского математического общества, доктор Парижского университета.
В Математическом институте им. В. А. Стеклова Академии наук СССР руководит отделом теории вероятностей и математической статистики. Является членом редакционной коллегии журнала «Успехи математических наук» и редактором математического отдела «Докладов АН СССР». Как член редакции принимал участие в составлении Большой Советской Энциклопедии.
А. Н. Колмогоров постоянно проявляет живой интерес к постановке преподавания математики в высших учебных заведениях и в средних школах. Известен массовому читателю как автор многих популярных книг и статей.
Среди многочисленных учеников А. Н. Колмогорова имеются крупные ученые, известные не только у нас, но и далеко за пределами нашей Родины.
Советское правительство высоко Оценило труд замечательного ученого, удостоив его звания Героя Социалистического Труда, наградив тремя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и медалями.