Ранний старт 3

Середина сентября, урок математики.

— Куда это ты залез? — Около меня стоит Сергей Викторович, а мой учебник раскрыт на странице ближе к концу. Совсем немного осталось.

— Почему задание не выполняешь? — Ну, не выполняю и что?

— Пройденный этап, Сергей Викторович.

— Ну-ну… только учти, от домашних заданий я тебя не освобождаю. И знаешь что? Иди-ка к доске, раз такой умный…

Иду, раз я такой умник. Что у нас там? Обратные функции. Ну-ну…

— Итак, народ, — «народ» оживляется, — с чего начнём? А начинать надо с начала. Первым словом что идёт? Первое слово — обратные. Это не простое слово, друзья мои…

Математик слегка хмурится, уж больно развязен мой тон.

— Мы с ним давно знакомы, просто это от нас долго скрывали. Чуть ли не с первого класса…

Тут и математик проникается интригой. Это что такое они, учителя, скрывали от нас, пытливой молодёжи?

— Есть обратные функции, есть обратные операции, есть обратные или некорректные задачи. Кстати, такие задачи одни из самых трудных. Для иллюстрации. Задача вычисления траектории пули при заданных условиях, — скорость пули, угол стрельбы, сила ветра, — прямая. Восстановление или вычисление тех же самых параметрах по результату, — застрявшей в мишени пули, — обратная задача. И как вы понимаете, она на порядок сложнее прямой.

— Понимаете? Обратный процесс всегда труднее. Это как спиной вперёд ходить.

Улыбаются.

— Что такое сложение? Прямая операция. При её применении к натуральным числам никаких сложностей не возникает. Складываем два натуральных числа — получаем натуральное число. Обратная же операция, вычитание, сразу вынуждает нас либо накладывать ограничение, — уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, — либо расширять множество натуральных чисел до целых. Обратная операция вычитания заставляет нас добавлять к натуральным числам отрицательные для расширения до множества целых чисел.

— Практически то же самое происходит с умножением и делением. Прямой и обратной операцией. Умножение не прибавляет нам проблем, а вот деление… о-о-о! Оно заставляет нас опять расширять множество целых чисел до дробно-рациональных. И мы мучаемся дробями с пятого класса! Вот что делают обратные операции! И как только мы надеваем на них узду в виде универсальной десятичной записи, появляется возведение в степень, а за ней маячит извлечение корней! — Мой голос пропитан страданием и трагизмом. Девочкам особенно такое нравится.

Математик тоже слушает внимательно. Не забываю что-то рисовать на доске. Сейчас это квадратный корень из двух.

— И нам приходиться опять… — хватаюсь за голову, — вводить новые числа. Иррациональные. Но это не всё! Приходится, всё-таки приходиться ограничивать подрадикальные числа только положительными значениями. Иначе возникают мнимые и комплексные числа, которые изучаются специальной теорией.

— Даже говорить не хочу о том, какие проблемы нас ждут с обратными функциями. Боюсь представить.

Народ проникается, девочки заранее пугаются.

— Но не всё так плохо. Всё основывается на крайне простом определении обратной функции.

Пишу на доске и подчёркиваю: если x = g(f(x)), то g(x) — обратная к f(x) функция. И несколько примеров: возведение в квадрат квадратного корня и наоборот, умножение на число и деление на то же самое число. Ну, и хватит. Показательных функций и прочих логарифмов мы ещё не проходили.

— А что из этого элементарного определения можно выкрутить, нам сейчас и расскажет Сергей Викторович. Например, о симметрии графиков обратных функций и прочих замечательных вещах. Мы, кстати говоря, незаметно переместились из привычного пространства чисел и операций над ними в сложный и крайне интересный мир функций. То есть, прошу заметить: функции это новый класс объектов. До этого мы уже встречались с объектами, отличными от чисел. Это вектора с их особыми свойствами. Помните? Скалярное произведение, векторное произведение, произведение на число. Только произведений целых три вида, а вот деления, возведения в степень и прочих ужасов нет. Так что слава векторам!

Кое-как математик меня унимает.

— Тебя не заткнёшь… — бурчит он.

— Настоящему мужчине всегда есть, что сказать, — замечаю, усаживаясь на своё место под веселье всего класса.

Настроение класса поднимается, а это, между прочим, благоприятный эмоциональный фон для усвоения даже трудных тем.

30 октября, городской спорткомплекс, время 10:05

— Команде четырнадцатой школы наш физкульт — Привет! — Гаркаем дружно и весело моим друзьям из старой школы.