Пуанкаре

Известность приходит к Клейну в 1872 году, когда он вступает в должность профессора университета в Эрлангене. По традиции ему полагалось выступить перед будущими коллегами с программным докладом. Подводя итоги своим двухлетним исследованиям, молодой математик дал столь ясную и отчетливую перспективу дальнейшего развития геометрии, что эта лекция навсегда вошла в фонд научной классики под громким названием «Эрлангенской программы».

Геометрия к тому времени превратилась в весьма расчлененную науку, многие разделы которой настолько далеко разошлись друг от друга, что казались совершенно несвязанными. Наряду со старой, известной с древних времен евклидовой геометрией в математике появились неевклидова, проективная, аффинная, конформная, дифференциальная и другие геометрии. В своем докладе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» Ф. Клейн выдвинул синтетическую идею, объединяющее начало, восстановив утраченное единство геометрии. Различные геометрические теории как бы собираются им в один фокус, а линзой послужило понятие группы, позволившее с единой точки зрения охватить весь геометрический калейдоскоп. И дело не только в формально-теоретическом объединении, это было принципиально новое понимание и обоснование различных геометрий.

За двадцать лет до этого английским математиком Дж. Дж. Сильвестром впервые были введены в науку понятие и термин «инвариант». В последующие годы теория инвариантов и ее применение к алгебраическим проблемам усиленно разрабатывались в Англии им самим и его другом А. Кэли, а во Франции — Ш. Эрмитом. В своих письмах Эрмит не раз шутливо называл себя и своих английских коллег «троицей инвариантов». Клейн положил понятие инварианта наряду с понятием группы в основу своих геометрических изысканий.

Кратко суть «Эрлангенской программы» заключается в том, что любая геометрия объявляется учением о свойствах фигур, инвариантных, то есть неизменных, при некоторых однотипных преобразованиях, совокупность которых образует группу. Каждому типу преобразований соответствует своя геометрия. Например, элементарная евклидова геометрия изучает свойства фигур, которые не зависят от их положения в пространстве. Две фигуры в этой геометрии считаются одинаковыми, если, двигая одну фигуру, можно точно совместить ее с другой. Группа преобразований, соответствующая евклидовой геометрии, составлена из различных движений, перемещений в пространстве. В проективной геометрии фигуры одинаковы, если можно одну из них спроектировать конусом световых лучей на другую так, что они полностью совпадут. Так совпадает с диском луны монета, которую мы держим в вытянутой руке. В этой геометрии любые треугольники считаются одинаковыми, так как всегда можно найти такой угол зрения, под которым эти треугольники точно совместятся. Точно так же одинаковыми принимаются любая окружность и любой эллипс. Множество всех мыслимых проекций, образованных расходящимся из точки пучком лучей, — такова группа проективной геометрии. Различные геометрии отличаются друг от друга тем, какие фигуры в них получаются одинаковыми, инвариантными, при дозволенных в этих геометриях преобразованиях. Геометрия становится теорией инвариантов некоторой группы преобразований.

Этим результатам Клейна потому уделено внимание в нашей книге, что инвариантно-групповой подход стал сквозной идеей в творчестве Пуанкаре, подведя его вплотную к приложению идей «Эрлангенской программы» в механике и физике. Не раз еще, рассматривая его труды, мы встретимся с этими терминами — группа и инвариант. Глубоко усвоив достоинства групповых методов и живо восприняв идею инвариантов, Пуанкаре одним из первых возвестил о новом теоретико-инвариантном подходе в точном естествознании.

Когда в 1880 году Феликс Клейн возглавил в Лейпциге университетскую кафедру геометрии, его внимание и внимание его учеников было приковано к функциям, инвариантным относительно некоторых общих преобразований переменной величины. Поэтому он не мог не заметить первых статей Пуанкаре по фуксовым функциям. Ознакомившись с ними, он сразу же осознает важность выдвигаемых там идей. Даже среди математиков Клейн был одним из немногих, кто по-настоящему глубоко мог проникнуть в работы молодого французского математика и дать им оценку, основанную на подлинном понимании. Ведь, как и Фукс, он со. своей школой занимается теми же проблемами, и понятие новой функции ему уже знакомо.