Простая одержимость

• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: ¹⁴/₃₇. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь ¹³/₉ или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 1⁴/₉.

• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как π и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно  или π²/6. Когда больше ничего нельзя сделать или же просто для того чтобы оценить реальное численное значение вещественного числа, его записывают в виде десятичной дроби, как правило, с многоточием в конце, которое означает: «Это не все! если надо, можно добавить сюда еще десятичные разряды», например −549,5393169816448223…. Их можно округлять, скажем, до «пяти знаков после запятой» −549,53932, или до «пяти значащих цифр» −549,54, или с любой другой точностью.

• Комплексные числа выглядят так: −13,052 + 2,477i. О них мы еще поговорим.

Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:

• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»

• Целые (скажем, −27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как −²⁷/₁. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»

• Рациональные числа (скажем, ¹/₃) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе ⁷/₈ = 0,875). Рациональное число ^65 463/_27 100, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:

2,4156088560885608856088….

Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число

0,12345678910111212131516171819202…

ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»

• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, √2 записывается в виде комплексного числа как √2 + 0i. Подробности ниже.

(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)

Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N — семейство всех натуральных чисел, Z — целых, Q — рациональных, a R — вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Z позволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N (7 − 12 =?). Подобным же образом Q позволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z ((−7):(−12) =?). И наконец, R открывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в R имеет предел (что неверно для Q).

(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или ²/₃, или 1¹/₂ — т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к √2, или π, или e — иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Q может сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Q не является полным. Напротив, R полно, как полно и С. Эта идея пополнения Q приобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)