Простая одержимость

3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x^1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x^1/3 есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x^2/3 — это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x²).

6-е правило действий со степенями:

х^m/n есть корень n-й степени из х^m.

Поскольку 12 — это 3×4, получаем, что 12⁵ равно (3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4). Это можно переписать как (3×3×3×3×3)×(4×4×4×4×4). Короче говоря: 12⁵ = 3⁵×4⁵. Такое верно и в общем случае:

7-е правило действий со степенями:

(x×y)ⁿ = xⁿ×yⁿ.

А что насчет возведения x в иррациональную степень? Что могло бы означать 12^√2, или 12^π, или 12^e? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к √2. Она выглядела так: ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к √2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12¹ равно просто 12, а 12^3/2 — это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 12^7/5 — это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 12^17/12 равно 33,794038815…, 12^41/29 равно 33,553590738…, 12^99/70 равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к √2, очень похоже на правду, что 12^√2 = 33,588665890….

Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций x^a для различных чисел a в интервале от −2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х⁰, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x — то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента x значение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x², x³, x⁸, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x^0,5.

Рисунок 5.1. Степенные функции x^a для различных чисел a.

III.

Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12×5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12×5¹/₂ где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 12⁵ совсем легко, это кратное умножение: 12×12×12×12×12. Чтобы справиться с , требуются дополнительные объяснения, подобные тем, что предложены в предыдущем разделе.

Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины P через Q. Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Q через P. И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = a×b, то a = x:b и b = x:a. Деление полностью решает проблему обращения умножения.

Аналогия нарушается, потому что a×b всегда и без единого исключения равно a×b, но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что a^b = b^a (единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих a и b — это 2⁴ = 4²). Например, 10² есть 100, но 2¹⁰ есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = a^b, то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить a через x и b и, отдельно, способ выразить b через x и a. Первое — не проблема. Возведем обе части в степень ¹/_b и в соответствии с 3-м правилом получим a = x^1/b (что согласно 6-му правилу означает, что a есть корень b-й степени из x). Но как же выразить b через x и а? Правила действий со степенями не дают здесь никаких подсказок.