Простая одержимость

B основе построения всей классической физики лежат вещественные числа, такие как 22,45915771836…; поскольку такие числа не имеют замкнутого вида, требуется бесконечная последовательность десятичных разрядов, чтобы теоретически достичь полной точности. Реальные физические измерения, однако, носят приближенный характер, давая что-то вроде 22,459. Это рациональное число, равное ^22 459/₁₀₀₀. Все, что есть в физическом эксперименте, можно, таким образом, выразить с помощью рациональных чисел — элементов из Q. Чтобы перейти от мира эксперимента к миру теории, надо пополнить поле Q (см. главу 11.v). Другими словами, требуется его расширить таким образом, чтобы для всякой имеющей предел бесконечной последовательности чисел из Q этот предел лежал бы или в самом Q, или в поле-расширении. Обычный и естественный способ такого пополнения приводит к вещественным числам R и комплексным числам С.

Однако в алгебраической теории чисел имеются и другие возможности для пополнения Q. В 1897 году прусский математик Курт Хензель[183], работая над определенной задачей в теории алгебраических полей, ввел целое новое семейство объектов, подобных полю чисел вида а + b√2, которое мы рассматривали в главе 17.ii. Эти объекты называются p-адическими числами. Для каждого простого числа p имеется по одному из этих экзотических созданий, содержащих бесконечно много элементов. Кирпичики, из которых строится такое поле, — это обсуждавшиеся в главе 17.ii «циферблатные» кольца размера p, p², p³, p⁴ и т.д. В моих обозначениях это кольца CLOCK_p, CLOCK_p2, CLOCK_p3, …. Например, поле 7-адических чисел построено из CLOCK₇, CLOCK₄₉, CLOCK₃₄₃, CLOCK₂₄₀₁, …. Помните приводившуюся ранее иллюстрацию того, как конечное поле можно использовать для построения бесконечного поля? Так вот, здесь используется бесконечное число конечных колец для построения нового бесконечного поля!

Поле p-адических чисел обозначается символом Q_p. Таким образом, имеются поле Q₂, поле Q₃, поле Q₅, поле Q₇, поле Q₁₁ и т.д. Каждое из них — полное поле: Q₂ есть поле 2-адических чисел, Q₃ есть поле 3-адических чисел и т.д.

Как можно догадаться уже из обозначений, p-адические числа чем-то похожи на обычные рациональные числа. Однако поле Q_p богаче и устроено более сложно, чем поле Q, и в некоторых отношениях скорее напоминает поле вещественных чисел R. Как и R, поле Q_p можно использовать для пополнения поля Q.

Здесь вы можете высказать определенное недоумение: «Все отлично, но ведь было сказано, что поле Q_p этих странных новых объектов — р-адических чисел — существует для всякого простого числа p и что любое Q_p позволяет пополнить поле Q; так какое же из них надо предпочесть? Q₂? Q₃? Q₁₁? Q₄₅₈₂₇? Какое простое число должен выбрать профессор Конн, чтобы устроить свой фокус — перекинуть мост между простыми числами и физикой динамических систем?»

Ответ таков: их все! Дело в том, что имеется алгебраическое понятие, называемое аделем, которое охватывает в свои широкие объятия все Q_p для всех простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, …. И там же оказываются и вещественные числа! Адели построены из Q₂, Q₃, Q₅, Q_7, … и R способом, напоминающим тот, каким p-адические числа построены из CLOCK_p, CLOCK_p2, CLOCK_p3, …. Если угодно, адели находятся на один уровень абстракции выше p-адических чисел, которые сами располагаются на один уровень абстракции выше, чем рациональные числа.

Если от всего этого у вас кружится голова, то достаточно сказать, что имеется класс суперчисел, являющихся одновременно 2- адическими, 3-адическиими, 5-адическими, … и при этом еще и вещественными. В каждое из этих суперчисел вложены все простые числа.

Без сомнения, адель — довольно заумное понятие. Однако нет на свете ничего настолько заумного, чтобы оно рано или поздно не пробило себе дорогу в физику. В 1990-х годах математические физики взялись за создание адельной квантовой механики, где реальные измерения в эксперименте, приводящие к рациональным числам, воспринимаются как проявление этих причудливых созданий, вытащенных из темных глубин математической бездны.

Пространство такого типа — адельное пространство — и построил Ален Конн в качестве площадки, где может резвиться его риманов оператор. Из-за того что оно адельное, в него, так сказать, встроены все простые числа. Действующие на этом пространстве операторы по необходимости основаны на простых числах. Теперь, я надеюсь, стало немного понятнее, как же можно построить риманов оператор, собственные значения которого являются в точности нетривиальными нулями дзета-функции, а в пространство, на котором он действует, простые числа встроены тем способом, который я пытался описать, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц.