Читаем Простая одержимость полностью

Приведенные функции 0,1x, 0,01x, 0,001x и 0,0001x — не Ο большое от единицы; все они — Ο большое от x. Такова же и любая другая функция, которая остается навсегда заключенной в «куске пиццы» между прямой ax и ее зеркальным отражением −ax. На рисунке 15.2 приведен пример функции, которая не остается в таких пределах. Это 0,1x2 — квадратичная функция. Не важно, сколь широким вы сделаете этот кусок пиццы — т.е. не важно, сколь велико значение a, — график функции 0,1x2 рано или поздно прорвется через верхнюю границу.

Рисунок 15.2. Функция 0,1x2 не есть Ο(х).

Теперь мы можем оценить значение результата фон Коха 1901 года. Если Гипотеза Римана верна, то при x, стремящемся к бесконечности, абсолютная разность между π(x) и Li(x) — т.е. или Li(x) − π(x), или π(x) − Li(x), что не важно, потому что Ο большому нет дела до знаков, — остается заключенной между двумя ограничивающими кривыми. Ограничивающие кривые — это C√x∙ln x и ее зеркальное отражение, где C — некоторое число. Остаточный член может делать что хочет между этими двумя кривыми, но он никогда не выберется наружу и никогда не вырвется внезапно из-под их контроля. Разность между π(x) и Li(x) есть Ο большое от √x∙ln x.

На рисунке 15.3 приведен пример функции, которая есть Ο(√x∙ln x). Там показаны: 1) кривая √x∙ln x (верхняя половина отдаленно напоминающей параболу кривой), 2) зеркально отраженная кривая −√x∙ln x (нижняя половина) и 3) придуманная для иллюстрации и ничего особенно не выражающая функция, которая есть Ο(√x∙ln x). Буква m обозначает миллион, ведь вещи подобного рода интересны только для больших аргументов. Стоит отметить, что "функция Дербишира" в действительности на некоторое время вырывается за пределы ограничивающих ее кривых при аргументах, равных примерно 200 миллионам. Это не страшно, поскольку больше она никогда такого не делает. Начиная с некоторой точки — и навсегда после нее — функция остается в пределах границ. Верьте мне, что она там остается, хотя по понятным причинам я и не могу показать вам всю функцию до бесконечности. Ο большое принимает во внимание исключения из правил при малых аргументах (а такие исключения — общее место в теории чисел, взять хотя бы утверждение «все простые числа нечетные… кроме самого первого»).

Рисунок 15.3. Функция Дербишира есть Ο(√x∙ln x).

Можно заметить еще, что, поскольку Ο большое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация — форма ограничивающих кривых — и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.

III.

Результат фон Коха 1901 года[135] — а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x), — один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, — результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.

А есть ли какой-нибудь результат типа Ο большого для остаточного члена Li(x) − π(x), который не зависел бы от справедливости Гипотезы Римана? О да. Среди специалистов по аналитической теории чисел долгие годы любимым спортом был поиск все лучших и лучших формул типа Ο большого для остаточного члена. Но ни один не может сравниться с Ο(√x∙ln x). Это абсолютно лучшее, наиболее точное ограничение на остаточный член, известное к настоящему моменту. Правда, раз оно зависит от справедливости Гипотезы, мы не можем быть полностью уверены, что оно верно. Все те оценки остаточного члена, в справедливости которых мы уверены, менее точны, чем эта. Соответствующая параболическая кривая на рисунке 15.3 несколько шире, причем различие делается все более заметным по мере того, как x уходит на бесконечность. Если же Гипотеза Римана верна, то среди всех известных оценок остаточного члена выражение Ο(√x∙ln x) является наилучшим возможным — наиболее точной формулой типа Ο большого. Оно же и простейшее. При этом все формулы, которые были доказаны без предположения о справедливости Гипотезы, выглядят достаточно уродливо. Вот наилучшая из тех, что известны мне на данный момент:

где С — некоторое постоянное число. Ни одна из других подобных формул на вид не проще этой.

Перейти на страницу:

Все книги серии Элементы

Мозг и душа. Как нервная деятельность формирует наш внутренний мир
Мозг и душа. Как нервная деятельность формирует наш внутренний мир

Знаменитый британский нейрофизиолог Крис Фрит хорошо известен умением говорить просто об очень сложных проблемах психологии – таких как психическая деятельность, социальное поведение, аутизм и шизофрения. Именно в этой сфере, наряду с изучением того, как мы воспринимаем окружающий мир, действуем, делаем выбор, помним и чувствуем, сегодня и происходит научная революция, связанная с внедрением методов нейровизуализации. В книге "Мозг и душа" Крис Фрит рассказывает обо всем этом самым доступным и занимательным образом.УДК 159.9:616.89ББК 88.3+56.14ISBN: 978-5-271-28988-0 (ООО "Издательство Астрель")© Chris D. Frith, 2007All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition published by Blackwell Publishing Limited. Responsibility for the accuracy of the translation rests solely with The Dynasty Foundation and is not the responsibility of John Blackwell Publishing Limited. No part of this book may be reproduced in any form without the written permission of the original copyright holder, Blackwell Publishing Limited.© Фонд Дмитрия Зимина "Династия", издание на русском языке, 2010© П. Петров, перевод на русский язык, 2010© А. Бондаренко, художественное оформление, макет, 2010© ООО "Издательство Астрель", 2010Издательство CORPUS ®Фонд некоммерческих программ "Династия" основан В 2002 году Дмитрием Борисовичем Зиминым, почетным президентом компании "Вымпелком". Приоритетные направления деятельности Фонда – развитие фундаментальной науки и образования в России, популяризация науки и просвещение. В рамках программы по популяризации науки Фондом запущено несколько проектов. В их числе – сайт elementy.ru, ставший одним из ведущих в русскоязычном Интернете тематических ресурсов, а также проект "Библиотека "Династии" – издание современных научно-популярных книг, тщательно отобранных экспертами-учеными. Книга, которую вы держите в руках, выпущена в рамках этого проекта. Более подробную информацию о Фонде "Династия" вы найдете по адресу:WWW.DYNASTYFDN.RU

Кристофер Фрит , Крис Фрит

Биология, биофизика, биохимия / Биология / Психология / Образование и наука
Простая одержимость
Простая одержимость

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

Джон Дербишир

Математика
Мутанты
Мутанты

Для того, чтобы посмотреть, как развивается зародыш, Клеопатра приказывала вспарывать животы беременным рабыням. Сегодня мы знаем о механизмах, которые заставляют одну-единственную клетку превращаться сначала в эмбрион, после – в ребенка, а затем и во взрослого человека, несравненно больше, чем во времена жестокой египтянки, однако многие вопросы по-прежнему остаются без ответов. Один из основных методов исследовать пути формирования человеческого тела – это проследить за возникающими в этом процессе сбоями или, как говорят ученые, мутациями. Именно об этих "неполадках", приводящих к появлению сиамских близнецов, двухголовых ягнят и прочих мутантов, рассказывает в своей увлекательной и порой шокирующей книге британский биолог Арман Мари Леруа. Используя истории знаменитых "уродцев" в качестве отправной точки для своих рассуждений, автор подводит читателя к пониманию сложных законов, позволяющих человеческим телу на протяжении многих поколений сохранять относительную стабильность, оставаясь при этом поразительно многообразным.УДК 575-2ББК 28.704ISBN 978-5-271-24665-4 (ООО "Издательство Астрель")© Armand Marie Leroi, 2003© Фонд Дмитрия Зимина "Династия", российское издание, 2009© Е. Година, перевод на русский язык, 2009© А. Бондаренко, оформление, 2009Фонд некоммерческих программ "Династия" основан В 2002 году Дмитрием Борисовичем Зиминым, почетным президентом компании "Вымпелком". Приоритетные направления деятельности Фонда – развитие фундаментальной науки и образования в России, популяризация науки и просвещение. В рамках программы по популяризации науки Фондом запущено несколько проектов. В их числе – сайт elementy.ru, ставший одним из ведущих в русскоязычном Интернете тематических ресурсов, а также проект "Библиотека "Династии" – издание современных научно-популярных книг, тщательно отобранных экспертами-учеными. Книга, которую вы держите в руках, выпущена в рамках этого проекта. Более подробную информацию о Фонде "Династия" вы найдете по адресу:WWW.DYNASTYFDN.RU

Арман Мари Леруа

Биология, биофизика, биохимия

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное