Природа и общество. Модели катастроф

Можно истолковать этот вывод таким образом, что совершенная демократия невозможна – ведь и все человеческие учреждения в той или иной мере несовершенны, и не следует предъявлять к ним слишком общие и абстрактные требования. Поскольку полная независимость суждений (аксиома 4) явно недостижима, всегда будут группы людей, связанные общими взглядами, и суждение человека будет в некоторой степени зависеть от группы, к которой он принадлежит, – по рождению, воспитанию или его собственному выбору. Но, конечно, такие группы не обязательно будут похожи на нынешние политические партии.

Метод статистической выборки

Выборы представляют собой случайное событие, которое может быть описано с помощью теории вероятностей. Начнем с простейшего случая, когда выбирают президента из двух кандидатов, A и B. Каждый избиратель может проголосовать за A или против A (либо высказавшись за его противника B, либо не явившись на выборы, что мы будем также толковать как голосование "против A"). Можно ли говорить о вероятности того, что взятый наугад (то есть выбранный по жребию) избиратель проголосует за A? Мы примем частотное определение вероятности: будем говорить, что голосование за A имеет вероятность p, если в достаточно длинной серии повторений этого голосования отношение числа положительных голосований M к числу всех голосований в серии N приблизительно равно p, причем приближение тем лучше, чем больше длина серии N. Конечно, при этом случайный избиратель каждый раз выбирается заново, посредством нового жребия. Если испытания такого рода дают устойчивое значение частоты p = M/N, то можно допустить, что вероятность голосования за кандидата A существует и равна p. Разумеется, при этом надо заботиться, чтобы выбранная группа из N человек (входящих в серию) была действительно случайна – иначе законы теории вероятностей неприменимы. Например, в этой группе – именуемой статистической выборкой – должно быть примерно одинаковое число мужчин и женщин, как и во всей популяции; в группе не должна преобладать какая-нибудь профессия, какой-нибудь уровень образования, и т.д. В общем, правильная статистическая выборка должна быть возможно более точной моделью популяции. Нахождение таких выборок – особое искусство, которому учатся статистики, а правильность выборки можно проверить методами теории вероятностей.

Теория вероятностей позволяет также вычислить, насколько велика должна быть выборка из N человек, чтобы полученная из нее частота M/N достаточно мало отличалась от искомой вероятности p. Предположим, что вероятность голосования за A в самом деле известна: например, пусть выборы уже прошли, так что можно принять за p долю всех избирателей, проголосовавших за A. Посмотрим, что можно сказать о возможных результатах выборов по выборке из N избирателей. Число M членов этой выборки, высказавшихся за кандидата A, может быть от 0 до N, и для каждого значения M существует вероятность того, что ровно M человек выскажется за A; обозначим эту вероятность через p(M). Если известна вероятность голосования за кандидата A (равная p), то вероятность M положительных ответов при нашей выборке из N человек, как можно показать, равна

где – так называемые биномиальные коэффициенты, равные

здесь N! – произведение всех целых чисел от 1 до N, именуемое факториалом числа N, и аналогично M! = 1 x 2 x 3 x ... x M, (N-M)! = 1 x 2 x 2 x...x(N-M) . Например, если в группе 50 человек (N = 50), то при p = 2/3 вероятность того, что за A выскажутся 30 человек, равна

Доказательство формулы для p(M) мы не приводим: его можно найти в любом учебнике теории вероятностей. Заметим, что прямое вычисление биномиальных коэффициентов при больших значениях M и N довольно трудно и обычно заменяется методами высшей математики. Но нас интересует здесь только общий характер зависимости p(M). Эта зависимость изображена на рисунке 1, для случая N = 50, p = 2/3. Вдоль оси абсцисс отмечены точки M = 0, 1, 2,..., 49, 50, а значение изображенной функции – очень точно приближающей p(M) – равно ординате графика с абсциссой M.

Рис.1

Колоколообразная кривая рисунка 1 называется гауссовой кривой и имеет важное значение в естествознании и статистике. Наибольшее значение p(M) – около 0,12 – получается при M = 33, то есть при ближайшем целом к 2/3 x N; это значит, что вероятнее всего исход опроса, при котором за A выскажется pN членов выборочной группы. Из рисунка 1 видно, что, например, при M<25 общая вероятность того, что за A выскажется не больше половины группы, равная

p(0) + p(1) + p(2) + ... + p(25),

оказывается ничтожно малой. Точный расчет показывает, что эта сумма меньше 0,005, т.е. вероятность такого результата меньше 0,5%.