Под знаком кванта.

2-й постулат — о квантовых скачках. Излучение происходит только при перескоке электрона с одной стационарной орбиты на другую. При этом частота излучения ν определяется формулой Эйнштейна hν = ΔΕ для квантов света, излучаемых при переходах между уровнями с разностью энергий ΔΕ = Ε₁—Ε₂, где Ε₁ и Ε₂— энергии начального и конечного состояний электрона.

Чтобы понять эти постулаты несколько глубже, обратимся к очевидной аналогии между предполагаемым вращением электрона вокруг ядра и вращением спутника вокруг Земли. В свое время Ньютон открыл закон всемирного тяготения, размышляя над вопросом: «Почему Луна не падает на Землю?» Сейчас этот вопрос задают только в старых анекдотах, ибо все знают ответ: «Потому, что она движется, причем со строго определенной скоростью, которая зависит от расстояния ее до Земли». Таким образом, чтобы спутник не упал на Землю и в то же время не улетел в космос, между радиусом его орбиты r и скоростью υ движения по ней должна существовать определенная связь.

В атоме водорода при движении электрона массой m и зарядом е вокруг ядра атома между скоростью электрона υ на орбите и радиусом орбиты r существует аналогичная связь, которую можно записать в виде уравнения

Это уравнение верно всегда — независимо от того, излучает электрон или не излучает. Оно просто отражает известное равенство центробежной и притягивающей сил. Если по законам электродинамики электрон теряет энергию на излучение, то он упадет на ядро, как спутник при торможении в атмосфере. Но если существуют особые — стационарные — орбиты, на которых он не подчиняется законам электродинамики и потому не излучает, то должны существовать также дополнительные условия, которые выделяют эти орбиты из набора всех возможных. Как появляются эти условия, легче всего показать, продолжив нашу аналогию со спутником.

У кругового движения, кроме радиуса орбиты r и скорости υ движения по ней, есть еще одна характеристика — момент количества движения l, или, коротко, орбитальный момент. Он равен произведению массы m на скорость υ и на радиус орбиты r, то есть l=mυr, и для спутника может принимать произвольные значения — в зависимости от r и υ. Бор утверждал: электрон в атоме отличается от спутника тем, что его орбитальный момент l не может быть произвольным — он равен целому кратному от величины ℏ = h/2π (это обозначение

предложил один из создателей квантовой механики Поль Дирак), то есть

mυr=nℏ,

где n — целое число: n = 1, 2, 3, ... Это и есть то дополнительное условие Бора, которое выделяет стационарные орбиты (единственно допустимые в атоме) из бесконечного числа всех мыслимых. А поскольку при таком выделении основную роль играет квант действия h, то и весь подход назвали квантованием.

Из этих двух условий, используя только правила алгебры, можно через массу электрона m, его заряд е и постоянную Планка h выразить радиус орбиты электрона r, его скорость υ и полную энергию на орбите

равную сумме кинетической энергии электрона и потенциальной энергии кулоновского притяжения электрона к ядру. Эти значения зависят от номера орбиты n следующим образом:

Таким образом, стационарные орбиты (а следовательно, и уровни энергии) нумеруются целыми числами n, которые пробегают бесконечный ряд значений: n=1, 2, 3, ...

Очень важно и чрезвычайно существенно то, что никакие другие, промежуточные значения энергии, кроме набора энергий Е_n, пронумерованных целым числом n, в атоме невозможны. Это отсутствие непрерывности практически всех характеристик движения электрона в атоме — его энергии, скорости, орбитального момента — наиболее характерная черта квантовой теории, которая почему-то наиболее трудно воспринимается.

При переходе с уровня k на уровень n электрон излучает энергию ΔE = E_k—E_n, а частота излучения, которое при этом возникает, определяется по формуле Эйнштейна:

Отсюда сразу же следует знаменитая формула Бора для частоты излучения атома водорода:

Если мы наблюдаем излучение, которое возникает при переходах электрона со всевозможных уровней k на какой-то определенный уровень n, то увидим не просто набор спектральных линий, а серию. Например, при переходах с уровней k = 3, 4, 5, ... на уровень n = 2 воспроизводится серия Бальмера.

Формула, полученная Бором, очень напоминает формулу Ридберга для атома водорода, которую тот нашел эмпирически задолго до Бора и о которой мы подробно рассказали в предыдущей главе:

Сравнивая эти две формулы, можно найти значение R для атома водорода с бесконечной массой ядра:

И действительно, ее значение совпало с тем, которое было давно известно из спектроскопических измерений.

Это был первый успех теории Бора, и он произвел впечатление чуда. Но это еще не все. Из теории Бора следовало, что у атома водорода в основном, невозбужденном состоянии (n = 1) радиус

Это означает, что размеры атомов (10^-8 см), вычисленные по его формуле, совпадали с предсказаниями кинетической теории материи.