φ – Число Бога

В «Началах» Евклид делает попытку охватить основную часть всего свода математических знаний своего времени. Книги I–VI посвящены геометрии плоских фигур, которую мы теперь изучаем в школе и которая получила название в честь Евклида – евклидова геометрия. Из них в книгах I, II, IV и VI говорится о линиях и плоских фигурах, в книге III собраны теоремы об окружности, а в книге V подробно рассказывается о следствиях из предположения, которое сделал Евдокс Книдский (408–355 г. до н. э.). Книги VII–X посвящены теории чисел и основам арифметики. В частности, в книге Х подробно рассказывается об иррациональных числах, и ее содержание в основном посвящено трудам Теэтета. В книге XI излагаются основы стереометрии, в книге XII, где в основном разобраны труды Евдокса, дана теорема о площади круга, а в книге XIII, также основанной на трудах Теэтета, рассказано, как построить пять платоновых тел.

Еще в античности к «Началам» писали комментарии – этим занимались Герон (I в. н. э.), Папп (IV в.) и Прокл (V в.) – все из Александрии – и Симпликий Афинский (VI в.). В IV в. н. э. появилась новая редакция труда, выполненная Теоном Александрийским; именно с нее делались все переводы вплоть до XIX века, когда в Ватикане была обнаружена рукопись с несколько иным текстом. В Средние века «Начала» трижды переводили на арабский. Первый из переводов выполнил Аль-Хаджжадж ибн Юсуф по заказу халифа Гарун-аль-Рашида (правил в 786–809 гг.), о котором мы знаем по сказкам из «Тысячи и одной ночи». В Европе «Начала» стали известны в латинских переводах арабской версии. Арабский текст получил в свое распоряжение английский монах-бенедиктинец Аделард (Аделяр) Батский (ок. 1070–1145), который, как рассказывают, путешествовал по Испании, называясь студентом-магометанином; около 1120 года он выполнил перевод на латынь. Этот перевод лег в основу всех европейских изданий вплоть до XVI века. Затем последовали переводы на многие современные языки.

Сам Евклид, вероятно, и не был величайшим математиком в истории, однако нет никаких сомнений, что как преподавателю математики ему не было и нет равных. Его учебником практически в неизменном виде пользовались больше двух тысяч лет, до середины XIX века. Даже сыщик Шерлок Холмс, плод воображения Артура Конан-Дойла, в «Этюде в багровых тонах» утверждает, что его выводы, сделанные методом дедукции, «безошибочны, как теоремы Евклида» (пер. Н. Треневой).

Речь о золотом сечении заходит в «Началах» несколько раз. Первое определение золотого сечения («в крайнем и среднем отношении») мы встречаем в книге II, где оно применяется к площадям и о нем говорится несколько расплывчато. Второе, более четкое определение – применительно к пропорциям – дано в книге VI. Евклид опирается на золотое сечение, в частности, при построении правильного пятиугольника (в книге IV), додекаэдра и икосаэдра (в книге XIII).

Рис. 24

Давайте при помощи самой простой геометрии изучим определение Евклида и поймем, почему золотое сечение играет такую важную роль в построении пятиугольника. На рис. 24 изображен отрезок АВ, разделенный на две части точкой С. Евклидово определение из книги IV, где говорится о крайнем и среднем отношении, означает, в сущности, что (длинная часть) / (короткая часть) = (целый отрезок/длинная часть). Иначе говоря, на рис. 24:

AC/CB = AB/AC

Так как же подобное деление отрезка связано с пятиугольником? У любой правильной плоской фигуры (то есть с равными сторонами и внутренними углами, такие фигуры еще называют правильными многоугольниками) сумма углов равна 180 × (n–2), где n – число сторон. Например, у треугольника n = 3, и сумма всех углов равна 180 градусам. У правильного пятиугольника n = 5, и сумма всех углов, следовательно, равна 540 градусов. Значит, каждый угол правильного пятиугольника равен 540/5 = 108 градусов. А теперь представим себе, что мы проводим из одного угла пятиугольника две диагонали, как на рис. 25, а, и у нас получается три равнобедренных треугольника. Поскольку два угла при основании любого равнобедренного треугольника равны, углы при основании треугольников по бокам равны 36 градусов каждый: (180–108)/2.

Рис. 25