φ – Число Бога

Прекрасный пример такой ситуации – линия, которую можно считать очертаниями берегов некоей воображаемой страны. Снежинка Коха – кривая, которую первым описал в 1904 году шведский математик Нильс Хельге фон Кох (1870–1924) (рис. 113). Начертим равносторонний треугольник со стороной в один дюйм. Теперь в середине каждой стороны достроим треугольники поменьше – со стороной в одну треть дюйма. В результате на этом этапе у нас получится звезда Давида. Обратите внимание, что периметр первоначального треугольника составлял три дюйма, а теперь он состоит из двенадцати сегментов по трети дюйма каждый, так что общая его длина равняется уже четырем дюймам. Теперь будем последовательно повторять эту процедуру – на каждой стороне треугольника будем достраивать новый с длиной стороны в одну треть предыдущей. Каждый раз длина периметра будет возрастать с коэффициентом 4/3, и так до бесконечности, несмотря на то что линия ограничивает замкнутое пространство конечной площади (можно доказать, что площадь стремится к 8/5 площади первоначального треугольника).

Открытие фракталов заставило задуматься, сколько же у них измерений. Фрактальное измерение – это мера «сморщенности» фрактала, то есть того, насколько быстро увеличиваются длина, площадь или объем, если измерять их на непрерывно уменьшающемся масштабе. Например, интуитивно мы чувствуем, что кривая Коха (рис. 113, внизу) занимает больше пространства, чем одномерная линия, но меньше, чем двухмерный квадрат. Но разве так бывает, чтобы у чего-то было дробное измерение? Ведь между 1 и 2 нет никаких целых чисел. Поэтому Мандельброт принял концепцию, выдвинутую в 1919 году немецким математиком Феликсом Хаусдорфом (1868–1942) – концепцию дробных измерений, которая на первый взгляд не укладывается в голове. Хотя поначалу подобная идея вызывает некоторую оторопь, оказалось, что именно дробные измерения – прекрасный инструмент, позволяющий охарактеризовать степень неправильности, или фрактальной размерности, предметов. Чтобы получить умопостижимое определение фрактального измерения или измерения самоподобия, удобно воспользоваться в качестве точек отсчета знакомыми целочисленными измерениями – 0, 1, 2 и 3. Идея в том, чтобы разобраться, сколько мелких объектов составляют крупный при любом количестве измерений. Например, если разделить одномерный отрезок пополам, то получим два сегмента (коэффициент сокращения f = 1/2). Если разделить двумерный квадрат на «подквадраты» с половинной длиной стороны (коэффициент сокращения опять же f = 1/2), то получим 4 = 2² квадрата. Если же мы возьмем длину стороны в 1/3 первоначальной (f = 1/3), квадратов станет 9 = 3². Если же мы поступим также с трехмерным кубом, то деление ребра пополам (f = 1/2) даст нам 8 = 2³ кубиков, а ребро в 1/3 первоначального – 27 = 3³ кубиков (рис. 114). Если изучить все эти примеры, обнаружим, что между количеством «субобъектов» n, коэффициентом сокращения длины f и измерением D есть определенная взаимосвязь. И вот какая: n = (1/f) D. (Другую форму записи этого соотношения я привожу в Приложении 7.) Если применить эту формулу к снежинке Коха, получится фрактальное измерение, равное примерно 1,2619.

Рис. 114

Кстати, и побережье Британии обладает фрактальным измерением, равным примерно 1,26. Поэтому фракталы служат моделями реальных береговых линий. Первопроходец теории хаоса Митчелл Фейгенбаум из Рокфеллеровского университета в Нью-Йорке опирался на этот факт, когда участвовал в издании атласа издательства «Хаммонд» в 1992 году («Hammond Atlas of the World), построенного по революционно новому принципу. Предоставив основную часть работы компьютерам и по возможности не вмешиваясь в нее, Фейгенбаум изучил спутниковые данные о фрактальной струкутре побережий, чтобы определить, какие точки на береговых линиях играют самую важную роль. Результатом стала, в частности, новая карта Южной Америки, точная на 98 % по сравнению с привычными 95 % из старых атласов.

Главное свойство многих естественных фракталов, от деревьев до кристаллов, – ветвистость. Изучим сильно упрощенную модель этого вездесущего явления. Начнем с ветки единичной длины, которая разделяется на две ветки длиной 1/2, расходящиеся под углом в 120 градусов (рис. 115). Затем каждая ветка разделяется подобным же образом, и процесс продолжается бесконечно.

Рис. 115