От абака к цифровой революции

Вавилонская система исчисления была очень развитой. В этом можно убедиться на примере множества табличек, где записана различная информация, связанная с математикой. На многих из них изображены таблицы с числами. Были найдены таблицы умножения, возведения в квадрат и куб, а также таблицы обратных чисел. В некоторых таблицах обратных чисел отсутствуют обратные числа для 7 и 11, которые в системе счисления по основанию 60 записываются бесконечным числом знаков. В других таблицах приводятся приближенные значения этих чисел, большие или меньшие истинных значений. На некоторых были записаны таблицы квадратных корней и степеней чисел. Считается, что таблицы степеней использовались для расчетов логарифмов. Если в таблице не приводилось число, обратное заданному, оно вычислялось с помощью линейной интерполяции чисел, содержащихся в таблице.

Далее приведена таблица умножения на 9, записанная на глиняной табличке, найденной в Ниппуре, которая в настоящее время хранится в Иенском университете. Числа, зафиксированные на табличке, перевела в современную систему счисления историк математики и науки Кристин Пруст. Эта таблица обладает интересными свойствами.

Например, число (1,3), соответствующее умножению 9·7, понимается как 1·60 + 3 = 63; число (7, 30), которому соответствует 9·50, понимается как 7·60 + 30 = 420 + 30 = 450.

В следующем примере, также адаптированном госпожой Пруст, приведена таблица обратных чисел с еще одной таблички, найденной в Ниппуре. В этой таблице 20 означает 20·60^-1 = 20/60 = 1/3.

Для вычисления квадратного корня вавилоняне использовали алгоритмический метод, известный в наше время как метод бисекции. Его авторство приписывается многим философам и математикам, среди которых Архит Тарентский и Герон Александрийский. Этот метод также упоминается как метод Ньютона, однако достоверно известно, что его использовали вавилоняне.

Для данного числа N, из которого мы хотим извлечь квадратный корень, находится два приближенных значения а₁ и Ь₁ квадрат одного из которых больше N, другого — меньше. Далее рассчитывается значение а₂ = (a₁ + b₁)/2, после чего его квадрат сравнивается с N. Если он больше N, то а₂ заменяет прежнее значение, большее N. Если же он меньше N, а₂  заменяет меньшее из значений. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено число, квадрат которого точно или с достаточной точностью равен N.

Вавилоняне также умели решать системы уравнений и уравнения второй степени с вещественными корнями. Эти задачи упоминаются в текстах, датируемых примерно 2000 годом до н. э. «Протоматематики» Вавилонии также умели решать некоторые уравнения третьей степени. Уравнения вида x³ = а или х³  + х² = с решались с помощью таблиц. Более сложные уравнения, имевшие вид ах³ + Ьх² = с, сводились к уравнениям первых двух видов.

Анализ вавилонских текстов показывает, что математика была для вавилонян не просто средством решения практических задач. В этом заключается ее фундаментальное отличие от древнеегипетской математики, которая считалась намного более утилитарной. Вавилоняне достигли значительных успехов в арифметике и алгебре, но в отличие от египтян не преуспели в геометрии. Знания геометрии в Вавилонии касались лишь немногих фигур, в частности треугольников и четырехугольников.

* * *

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Уравнения второй степени вида ах² + Ьх + с = 0 обычно решаются с помощью формулы

Эта формула позволяет получить вещественные решения, когда дискриминант положителен или равен нулю, то есть выражение Ь²  — 4ас больше либо равно нулю.

Для решения уравнений вида ах³ + Ьх² = с вавилоняне умножали уравнение на (а²/Ь³) и получали уравнение вида (ах/b)³ + (ах/b)² = са²/Ь³ Оно решалось с помощью таблиц для уравнений вида х³ + х² = с, после чего рассчитывалось значение х.

* * *

Однако труды вавилонян, посвященные окружностям, сохранились до наших дней. Именно вавилоняне разделили окружность на шесть частей построением окружностей радиуса, равного радиусу исходной окружности. Каждая из этих частей делилась на 60; таким образом, вся окружность делилась на 360 градусов. Так как использовалась шести десятеричная система, то градусы делились на 60 минут, минуты — на 60 секунд. В качестве приближенного значения π использовалось значение π = 3, хотя в табличке, найденной в Сузах, путем сравнения периметра шестиугольника и длины окружности получено значение π = 31/8.

Построение шестиугольника, вписанного в окружность. Сторона шестиугольника равна радиусу окружности.