Основы объектно-ориентированного программирования

[x]. (A1) item (put (s, x)) = x

[x]. (A2) remove (put (s, x)) = s

[x]. (A3) empty (new)

[x]. (A4) not empty (put (s, x))

Первые две аксиомы выражают основные свойства стеков (последним пришел - первым ушел) LIFO. Чтобы понять их, предположим, что у нас есть стек s и экземпляр x, и определим s' как результат put(s, x) , т. е. как результат вталкивания x в s. Приспособим один из предыдущих рисунков:

Рис. 6.4.  Применение функции put

Здесь аксиома A1, говорит о том, что вершиной s' является x - последний элемент, который мы втолкнули, а аксиома A2 объясняет, что при удалении верхнего элемента s' мы снова получаем тот же стек s, который был до вталкивания x. Эти две аксиомы дают лаконичное описание главного свойства стеков в чисто математических терминах без всякой помощи императивных рассуждений или ссылок на свойства представлений.

Аксиомы A3 и A4 говорят о том, когда стек пуст, а когда - нет: стек, полученный в результате работы конструктора new пустой, а всякий стек, полученный после вталкивания элемента в уже существующий стек (пустой или непустой) не является пустым.

Эти аксиомы, как и остальные, являются предикатами (в смысле логики), выражающими истинность некоторых свойств для всех возможных значений s и x. Некоторые предпочитают рассматривать A3 и A4 в другой эквивалентной форме как определение функции empty индукцией по размеру стеков:

Для всех x: G, s: STACK [G]

A3' · empty (new) = true

A4' · empty (put (s, x)) = false

Две или три вещи, которые мы знаем о стеках

Спецификации АТД являются неявными. Имеются два вида "неявности":

[x]. Метод АТД определяет неявно некоторое множество объектов, задавая применимые к ним функции. Из этого определения никогда не следует, что в нем перечислены все операции; часто, на пути к представлению, будут добавлены и другие.

[x]. Сами функции также определяются неявно. Вместо явных определений используются аксиомы, задающие свойства этих функций. Здесь тоже ничего не утверждается о полноте: когда вы, в конце концов, дойдете до реализации этих функций, они приобретут дополнительные свойства.

Эта неявность является ключевым аспектом абстрактных типов данных и, как следствие, - их будущих аналогов в построении ОО-ПО - классов. Когда мы определяем абстрактный тип данных или класс, мы всегда сообщаем кое-что об этом типе или классе, просто перечисляя те их свойства, которые знаем, и берем их в качестве определения. При этом никогда не предполагается, что других применимых свойств нет.

Неявность также предполагает открытость определений: всегда можно добавить новые свойства АТД или класса. Основным механизмом для выполнения таких расширений без разрушения уже существующего первоначального определения является наследование.

Этот "неявный" подход имеет далеко идущие последствия. В пункте "дополнительные темы" в конце этой лекции помещены еще некоторые комментарии о неявности.

Частичные функции

Спецификация всякого реалистичного примера, даже такого простого как стеки, неизбежно сталкивается с проблемами не всюду определенных операций: некоторые операции применимы не ко всем возможным элементам исходных множеств. Например, это имеет место для функций remove и item: нельзя удалить элемент из пустого стека, и у пустого стека нет верхнего элемента.

Решение этой проблемы, использованное в приведенной выше спецификации, состоит в том, чтобы определить эти функции как частичные. Функция из исходного множества X в результирующее множество Y является частичной, если она определена не для всех элементов X. Функция, не являющаяся частичной, называется полной. Простым примером частичной функции в обычной математике является функция обращения действительных чисел inv, значение которой на действительном числе x равно

inv(x)= 1/x.

Поскольку inv не определена при x = 0, мы можем определить ее как частичную функцию на множестве R всех действительных чисел:

Inv: R R

Чтобы указать, что функция частичная, используется перечеркнутая стрелка , а обычная стрелка будет означать, что функция заведомо полная.

Областью (определения) частичной функции типа X Y является подмножество тех элементов X, для которых эта функция имеет некоторое значение. В нашем примере областью функции inv является R - {0}, т.е. множество действительных чисел, отличных от 0.

В спецификации АТД STACK эти идеи использованы для стеков при объявлении remove и item как частичных функций в разделе ФУНКЦИИ - это указано с помощью перечеркнутых стрелок в их сигнатуре. При этом возникает новая проблема, обсуждаемая в следующем пункте: как задавать области таких функций?