О Бесконечном

Вместе с тем, мы решили ещё проблему, которая давно уже была весьма актуальна, а именно — проблему о непротиворечивости аксиом арифметики. Всюду, где применяется аксиоматический метод, возникает проблема — доказать непротиворечивость устанавливаемых аксиом. Ведь при выборе, трактовке и употреблении аксиом и правил мы не хотим зависеть только от доброй веры и слепого доверия. В геометрии и физических теориях доказательство непротиворечивости удаётся свести к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики. К самой арифметике этот метод, очевидно, не применим. Наша теория доказательства на основании метода идеальных элементов разрешает сделать этот последний важный шаг и тем самым завершает постройку учения об аксиоматике. И то, что мы дважды пережили, когда сначала речь шла о парадоксах исчисления бесконечно малых, а затем — о парадоксах теории множеств, — это впредь в царстве математики невозможно.

Наша теория доказательства, набросок которой мы здесь дали, в состоянии не только сделать надёжными основы математической науки, но, я полагаю, открывает дорогу для разработки общих вопросов принципиального характера, попадающих в область математических размышлений — вопросов, к которым раньше не могли приступить.

Математика превращается, некоторым образом, в третейского судью, в трибунал высшей инстанции, выносящий решение по принципиальным вопросам, причём такое расширение роли математики происходит на конкретной базе, на которой все должны суметь договориться, и где каждое утверждение контролируемо.

Так же и утверждения нового, так называемого «интуиционизма», — как бы скромны они ни были, — прежде всего должны, по моему мнению, получить от этого трибунала своё право на существование.

В заключение мы хотим из всех наших рассуждений сделать некоторое резюме о бесконечном. Общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, — здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением. В противоположность стремлениям Фреге и Дедекинда, мы пришли к убеждению, что в качестве предварительного условия для возможности научного познания необходимы некоторые геометрически наглядные представления и рассмотрения  и что одна только логика недостаточна. Оперирование с бесконечным может стать надёжным только через конечное.

Роль, которая остаётся бесконечному, это только роль идеи, — если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности, — более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь.

Наконец, я хотел бы выразить свою благодарность П. Бернайсу за проведённую совместную работу и ценную помощь, оказанную им мне как по существу вопроса, так и в отношении редакции.