Музыка сфер

Для наблюдения этого параллакса мы должны находиться на Солнце, что невозможно. Наблюдатели располагаются в разных точках земной поверхности и смотрят на Солнце с Земли. Они видят прохождение Венеры по диску Солнца по-разному — точно так же мы видим один и тот же предмет немного по-разному, когда смотрим на него отдельно правым и левым глазом.

Рассмотрим двух наблюдателей, которые располагаются в точках A и В одного меридиана (с целью упрощения расчетов) на разных широтах. Они видят Венеру как точку (или маленький круг) на диске Солнца в двух разных положениях, А’ и В’. Сравнив результаты этих двух наблюдений (см. следующий рисунок), мы сможем измерить смещение: расстояние А’В’ соответствует расстоянию между видимыми положениями Венеры при одновременном наблюдении из точек А и В.

По результатам наблюдений за движением Венеры в течение транзита можно изобразить на диске Солнца ее траекторию. Если мы ведем наблюдения из точек А и В, получим две параллельные линии. Расстояние между ними будет параллаксным смещением Δβ, которое в любой момент времени будет соответствовать расстоянию А’В’. Чтобы упростить расчеты, будем считать, что центры Земли (О), Венеры (V) и Солнца (С), а также точки земной поверхности А и В, из которых ведется наблюдение, расположены в одной плоскости. Углы при вершине Р в треугольниках APV и ВРС равны как вертикальные. Так как сумма углов любого треугольника равна 180°, выполняется следующее соотношение:

β_v+ β₁=β_s+β₂

Введем угол Δβ, которым обозначим расстояние между различными положениями Венеры на диске Солнца (оно будет равно расстоянию А’В’ в любой момент времени). Изменив порядок слагаемых, получим:

По определению, параллакс Венеры равен:

параллакс Солнца равен

Подставив эти выражения в приведенное выше уравнение, получим:

В частности, параллакс Солнца β_s будет рассчитываться так:

где Δβ — расстояние между двумя траекториями Венеры, видимыми из различных точек земной поверхности, а отношение r_t/r_v можно рассчитать по третьему закону Кеплера. Куб этого отношения должен быть пропорционален квадрату отношения периодов обращения планет вокруг Солнца. Периоды обращения Венеры и Земли известны и равны 224,7 дня и 365,25 дня соответственно. Таким образом, параллакс Солнца β_s удовлетворяет соотношению:

β_s = 0,38248 Δβ.

Δβ определяется на основе результатов наблюдений из точек А и В, находящихся на одном меридиане. Мы используем рисунок XVIII века, на котором изображена траектория Венеры, видимая из разных точек одного меридиана при транзите.

Рассчитать Δβ можно разными способами:

1. Простейший способ — непосредственное измерение по рисунку, приведенному на странице 159: достаточно рассмотреть отношение диаметра Солнца D на рисунке и угловой размер Солнца. Угловой размер Солнца равен 30 минутам дуги, выраженным в радианах. Имеем:

2. Также можно измерить хорды окружности на рисунке. Этот способ точнее, так как измерить длины хорд A₁A₂ и В₁В₂ всегда можно с большей точностью, чем расстояние между этими хордами А’В’.

Рисунок позволяет связать длины хорд A₁A₂ и В₁В₂ с расстоянием между ними, А’В’.

По теореме Пифагора для треугольников SB’В₁ и SA’X₁ получим

3. Вместо расстояний можно отсчитывать время. Достаточно рассмотреть соотношение

где t_A и t_B  — время прохождения A₁A₂ и В₁В₂. Обозначив через t₀ гипотетическое время транзита по всему диску Солнца, через t’ — время, соответствующее Δβ, установим соотношение:

Использовать временные интервалы вместо расстояний следует с осторожностью. Как показано на следующем рисунке, следует различать время внешнего касания (C₁ и С₄) и внутреннего касания (С₂ и С₃) Венеры с диском Солнца. Внутренние касания всегда можно определить точнее, несмотря на искажения, вносимые эффектом черной капли. По этой причине в расчетах учитываются только моменты внутреннего касания.

Наиболее точно можно определить моменты внутреннего касания С₂ и С₃, поэтому именно они используются в расчетах.

На основании результатов наблюдений транзита Венеры 1769 года, полученных в Вардё и Папеэте, получим следующие значения (с учетом того, что расстояние АВ по прямой равно 11425 км).

Расстояние от Земли до Солнца, равное 1 астрономической единице, вычисленное тремя описанными выше методами.